【数学】2018届一轮复习人教A版第一章第2讲简单不等式的解法学案
第2讲 简单不等式的解法
, [学生用书P5])
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为；
(2)当a<0时，解集为．
2．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1
0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x10，则不等式|x|a的解集为{x|x>a或x<－a}．
1．辨明三个易误点
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅，要注意区别．
(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
2．把握分式不等式的四个等价转化
(1)>0⇔f(x)·φ(x)>0；
(2)≥0⇔；
(3)<0⇔f(x)·φ(x)<0；
(4)≤0⇔.
1. 不等式x2－3x＋2<0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1，2)
D [解析] 将x2－3x＋2<0化为(x－1)(x－2)<0，解得10的解集为{x|－10，
即为x2－2mx－2n<0.
由题意知，x2－2mx－2n<0的解集为{x|－10.
即m2＋6m＋1>0，
解得：m>－3＋2或m<－3－2.
[答案] (－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)
一元二次不等式的解法(高频考点)[学生用书P6]
一元二次不等式的解法是高考的常考内容，且多与集合问题交汇考查，题型多为选择题或填空题，属容易题．
高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：
(1)解一元二次不等式；
(2)已知一元二次不等式的解集求参数．
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷乙)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝( )
A． B．
C． D．
(2)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
【解】 (1)选D.由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝，则A∩B＝.选D.
(2)因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述：当a>0时，
不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
[题点通关]
角度一 解一元二次不等式
1．不等式组的解集是( )
A．(2，3) B．∪(2，3)
C．∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B [解析] 因为x2－4x＋3<0，
所以10，
所以x<或x>2，
所以原不等式组的解集为∪(2，3)．
角度二 已知一元二次不等式的解集求参数
2．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
[解析] 依题意知，
所以解得a＝－12，c＝2，
所以不等式－cx2＋2x－a>0，
即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，
解得－2－1，得＋1>0，即>0，
解得x>－或x<－2.①
由<2，
得－2<0，即<0，
解得－23的解集为( )
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|－22} D．{x|－13得2x－1<－3或2x－1>3，即x<－1或x>2，故选C.
2．不等式|2x－3|<3x＋1的解集为________．
[解析] 由|2x－3|<3x＋1得
解得即x>.
故不等式|2x－3|<3x＋1的解集为{x|x>}．
[答案] {x|x>}
, [学生用书P299(独立成册)])
1．不等式(x－1)(3－x)<0的解集是( )
A．(1，3) B．[1，3]
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．{x|x≠1且x≠3}
C [解析] 根据题意，(x－1)(3－x)<0，得(x－1)(x－3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.
2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )
A．2 B．－2
C．－ D．
B [解析] 根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.
3．不等式组的解集为( )
A．{x|－21}
C [解析] 解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－11时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1x(x－2)的解集是________．
[解析] 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
[解析] 原不等式即(x－a)<0，由02的解集是________．
[解析] 由解得x>1；由解得x∈∅；由解得x<－3，所以原不等式的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
[答案] (－∞，－3)∪(1，＋∞)
10．(2017·大连模拟)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________．
[解析] 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
[答案]
11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
[解] (1)因为f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
所以f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
所以原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1，3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
等价于
解得
12．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，则有( )
A．a＝3，b＝4 B．a＝3，b＝－4
C．a＝－3，b＝4 D．a＝－3，b＝－4
D [解析] 法一：由题意得集合A＝{x|x<－1或x>3}，又A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，所以集合B为{x|－1≤x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a＝－3，b＝－4.
法二：易知A＝{x|x<－1或x>3}，又A∩B＝(3，4]，可得4为方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则有16＋4a＋b＝0，经验证可知选项D正确．
13．解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)00)．
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔⇔
⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或20，所以a(x－1)<0.
所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.
14．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
[解] 法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，
f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，
只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，
解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．
法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是[－3，1]．
