高考数学专题复习（精选精讲）练习3-数列通项公式习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习3-数列通项公式习题精选精讲

数列通项公式的求法 几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：‎ ‎（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）‎ 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：‎ ‎ （2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 ‎ 二、公式法 例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；‎ 解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，‎ ‎∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，‎ ‎∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1‎ 例1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析：设等差数列的公差位d，由已知，‎ 解得，又是递减数列， ∴ ，，∴ ，故选(D)。‎ 例2. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。‎ 解析：由题意，，又是等比数列，公比为 ‎∴，故数列是等比数列，，∴ ‎ 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。‎ 三、      叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。‎ 解 易知∵ ……‎ 各式相加得∴‎ 点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。‎ 例4. 若在数列中，，，求通项。‎ 解析：由得，所以，，…，，‎ 将以上各式相加得：，又所以 =‎ 四、叠乘法 例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。‎ 解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以 例4. 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式。‎ 解析：首先由易求的递推公式：‎ 将上面n—1个等式相乘得：‎ 点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。‎ 五、Sn法利用 (≥2)‎ 例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）‎ 解： （1）===3‎ 此时，。∴=3为所求数列的通项公式。‎ ‎（2），当时 ‎ ‎ 由于不适合于此等式 。 ∴‎ 点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。‎ 六、待定系数法：‎ ‎ 例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn 解：设 ‎ 例6. 已知数列中，，，‎ 其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。‎ 解析：递推公式一定可表示为 的形式。由待定系数法知： ‎ ‎ ‎ ‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列，故 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。‎ 七、辅助数列法 例7：已知数的递推关系为，且求通项。‎ 解：∵ ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列 ‎∴即 ∴‎ 例5. 在数列中，，，，求。‎ 解析：在两边减去，得 ‎∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得 ‎= =…=== ‎ 例8： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。‎ 解：∵∴ ， 设，则 故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴‎ 点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。‎ 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 ‎1.形如型 ‎（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.‎ ‎（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.‎ 方法如下： 由 得：‎ 时，，‎ ‎，‎ 所以各式相加得 ‎ 即：.‎ 为了书写方便，也可用横式来写：‎ ‎ 时，，‎ ‎=.‎ 例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足,‎ ‎ 证明 证明：由已知得：‎ ‎ = .‎ 例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：‎ 例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： ‎ 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.‎ ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;‎ ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;‎ ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;‎ ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。‎ 例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 解:由已知得,‎ 化简有,由类型(1)有,‎ 又得,所以,又,,‎ 则 此题也可以用数学归纳法来求解.‎ ‎2.形如型 ‎（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.‎ ‎（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.‎ ‎ 由得 时，，‎ ‎=f(n)f(n-1). ‎ 例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.‎ 解：已知等式可化为：‎ ‎()(n+1), 即 时，‎ ‎==.‎ 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.‎ 例2.已知,求数列{an}的通项公式.‎ 解：因为所以 故又因为,即，‎ 所以由上式可知,所以,故由累乘法得 ‎ ‎=‎ 所以-1.‎ 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.‎ ‎3.形如型 ‎（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.‎ 例1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.‎ 分析 1：构造 转化为型 解法1：令 则.‎ 时,‎ 各式相加:‎ 当n为偶数时，.‎ 此时 当n为奇数时，‎ 此时,所以.‎ 故 ‎ 解法2：‎ 时，，‎ 两式相减得：.‎ 构成以,为首项，以2为公差的等差数列;‎ 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 ‎.‎ ‎ ‎ 评注：结果要还原成n的表达式.‎ 例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.‎ 解：方法一：因为 ‎ 以下同例1，略 ‎ 答案 ‎ ‎4.形如型 ‎（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.‎ 例1. 已知数列,求此数列的通项公式.‎ 注：同上例类似，略.‎ ‎5．形如,其中)型 ‎（1）若c=1时，数列{}为等差数列;‎ ‎（2）若d=0时，数列{}为等比数列;‎ ‎（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.‎ 方法如下：设,‎ 得,与题设比较系数得 ‎,所以 所以有：‎ 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，‎ 所以 ‎ 即：.‎ 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.‎ 例1．已知数列中，求通项.‎ 分析：两边直接加上,构造新的等比数列。‎ 解：由得,‎ 所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列 所以,即 . ‎ 方法二：由 ‎ 时，‎ 两式相减得 ‎ ‎,‎ 数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.‎ ‎=( .‎ 方法三：迭代法 由 递推式 直接迭代得 ‎==‎ ‎=.‎ 方法四：归纳、猜想、证明.‎ 先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.‎ 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.‎ ‎6.形如型 ‎.(1)若(其中k,b是常数，且)‎ 方法：相减法 例1. 在数列中，求通项.‎ 解：， ①‎ 时，，‎ 两式相减得 ‎ ‎.令,则 利用类型5的方法知 即 ②‎ 再由累加法可得.‎ 亦可联立 ① ②解出.‎ 例2. 在数列中，,求通项.‎ 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 所以是一个等比数列，首项,公比为.‎ ‎ 即：‎ 故.‎ ‎(2)若(其中q是常数，且n0,1)‎ ①若p=1时，即：，累加即可.‎ ②若时，即：，‎ 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.‎ 即： ,令，则,‎ 然后类型1，累加求通项.‎ ii.两边同除以 . 即： ,‎ 令,则可化为.然后转化为类型5来解，‎ iii.待定系数法：‎ 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.‎ 例1.（2003天津理）‎ 设为常数，且．‎ 证明对任意≥1，；‎ 证法1：两边同除以（-2）,得 令,则 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎.‎ 证法2：由得 .‎ 设，则b. 即：,‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列.‎ 则=,‎ 即：,‎ 故 .‎ 评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.‎ 证法3：用待定系数法 设, 即:,‎ 比较系数得：,所以 所以,‎ 所以数列是公比为－2，首项为的等比数列. ‎ ‎ 即 .‎ 方法4：本题也可用数学归纳法证.‎ ‎（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；‎ ‎ ( ii)假设当n=k（k≥1）等式成立，则 ‎ 那么 ‎ ‎ ‎ 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. ‎ 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.‎ ‎7.形如型 ‎（1）即 取倒数法.‎ 例1. 已知数列中，，，求通项公式。 ‎ 解：取倒数：‎ ‎ ‎ 例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 ‎（Ⅰ）证明 分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.‎ 证：∵当 即 于是有 ‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知，当n≥3时有，‎ ‎∵‎ 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.‎ ‎2.形如型 方法：不动点法:‎ 我们设,由方程求得二根x,y,由有 同理,两式相除有,从而得,再解出即可.‎ 例1. 设数列｛an｝满足,求｛an｝的通项公式.‎ 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.‎ 解：对等式两端同时加参数t,得：‎ ‎,‎ 令, 解之得t=1,-2 代入得 ‎,,‎ 相除得,即{}是首项为，‎ 公比为的等比数列, =, 解得.‎ 方法2：‎ ‎，‎ 两边取倒数得，‎ 令b，则b,转化为类型5来求. ‎ ‎8.形如(其中p,q为常数)型 ‎（1）当p+q=1时 用转化法 例1.数列中，若,且满足,求.‎ 解：把变形为.‎ 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 ‎ 利用类型6的方法可得 .‎ ‎（2）当时 用待定系数法.‎ 例2. 已知数列满足，且,且满足,求.‎ 解：令,即,与已知 比较，则有,故或 下面我们取其中一组来运算，即有,‎ 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故 ‎,即,利用类型 的方法，可得 ‎. ‎ 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.‎ ‎9. 形如(其中p,r为常数)型 ‎（1）p>0， 用对数法.‎ 例1. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.‎ 解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴‎ 练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式. 答案：‎ ‎（2）p<0时 用迭代法.‎ 例1.（2005江西卷）‎ 已知数列，‎ ‎（1）证明 （2）求数列的通项公式an.‎ 解：（1）略 ‎（2）‎ 所以 ‎ 又bn=－1，所以 ‎.‎ 方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.‎ 解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.‎