数学文卷·2017届安徽省合肥市高三上学期第一次教学质量检测（一模）（2017

数学文卷·2017届安徽省合肥市高三上学期第一次教学质量检测（一模）（2017

合肥市2017年高三第一次教学质量检测 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设为虚数单位，复数的虚部是（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A． 3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．若将函数的图象向左平移个单位，则平移后的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 ‎ C．关于点对称 D．关于直线对称 ‎5．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．-9 B．-3 C．-1 D．3‎ ‎6．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于两点，为坐标原点．若的面积为1，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．4‎ ‎7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”‎ ‎．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．的内角的对边分别为，若，，则的外接圆面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设圆的圆心为，直线过与圆交于两点，若，则直线的方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．从区间中随机选取一个实数，则函数有零点的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，（是自然对数的底数），若是函数的最小值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是 ．‎ ‎14．若非零向量满足，，且，则与的夹角余弦值为 ．‎ ‎15．已知，则 ．‎ ‎16．函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17． 已知等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18． 一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到如下的频率分布表：‎ 频数 ‎2‎ ‎12‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值的平均数和众数；‎ ‎（Ⅱ）若或，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．‎ ‎19． 已知四棱锥的底面为菱形，且底面，，点、分别为、的中点，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求多面体的体积．‎ ‎20． 已知椭圆经过点，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，是椭圆的左右顶点，过点作直线与轴垂直，点是椭圆上的任意一点（不同于椭圆的四个顶点），联结；交直线与点，点为线段的中点，求证：直线与椭圆只有一个公共点．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分，作答时，请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBCDC 6-10:BACBD 11、12：AD 二、填空题 ‎13．83 14． 15．0或 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为为等差数列，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18．解：（Ⅰ）频率分布直方图为：‎ 估计平均值：‎ ‎．‎ 估计众数：18．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎19．（Ⅰ）证明：由底面得：．‎ 底面为菱形，，得为等边三角形，‎ 又因为为的中点，得，所以．‎ 因为，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）令多面体的体积为，则．‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以，多面体的体积为．‎ ‎20．解：（Ⅰ）依题意，‎ ‎，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）设且，直线的方程为：，‎ 令得，则线段的中点，‎ 则直线的斜率①‎ ‎∵是椭圆上的点，∴，代入①式，得 ‎∴直线方程为 联立又∵，整理得，‎ ‎∵∴直线与椭圆相切，即直线与椭圆只有一个公共点．‎ ‎21．解（Ⅰ），‎ 当时，，故，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴当时，函数的递增区间为，无减区间．‎ 当时，令，，‎ 列表：‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ 由表可知，当时，函数的递增区间为和，‎ 递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴由条件，对成立．‎ 令，，‎ ‎∴‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，即 ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 故在上恒成立，只需，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎ ‎22．解：（Ⅰ）∵∴‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）将代入得，即,‎ ‎∴交点坐标为 ‎∴交点的一个极坐标为．‎ ‎23．解：（Ⅰ），．‎ 当时，由或，得 ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意的实数，恒成立，即 ‎∵‎ ‎∴又，所以，．‎ ‎ ‎