2019届二轮复习二倍角与半角的余弦、正弦和正切学案（全国通用）

2019届二轮复习二倍角与半角的余弦、正弦和正切学案（全国通用）

倍角公式 二倍角和半角 半角公式和万能公式 一、 倍角公式：‎ ‎ （一）知识精讲 ‎；；‎ ‎。‎ 建议学生推导：‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例1】 求下列各式的值. ‎ ‎ （1） （2） ‎ ‎ （3） （4） ‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1）=；（2）＝；‎ ‎ （3）＝；（4）＝．‎ ‎【例2】= 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】-1‎ ‎【例3】已知 象限的角。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】三 ‎【例4】若，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】C ‎【例5】已知且都是锐角，求证 ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】 证明：由 得 ……①‎ 由得……② 都是锐角 ‎①②得 ‎ 即 又 所以 ‎【例6】方程的两个相等的根为，则_____。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例7】已知，则_____。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【例8】（1）已知，求，，的值；‎ ‎ （2） ；‎ ‎ （3）若的值是 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1）∵ ，‎ ‎ ，，‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎【例9】（1）化简：‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】因为，所以，‎ 所以，原式=。‎ ‎（2）化简：。‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】因为，所以，‎ 又因，所以，‎ 所以，原式=。‎ ‎【点评：三角函数式的化简通常原则是：“变名、变角、变次数”，紧抓这个原则，仔细观察题目所给的条件，找到解决题目的突破口.】‎ ‎【例10】年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】图中小正方形的面积为，大正方形的面积为，‎ ‎∴ 每一个直角三角形的面积是，‎ 设直角三角形的两条直角边长分别为，则，‎ ‎∴ 两条直角边的长分别为，‎ 直角三角形中较小的锐角为，。‎ ‎【例11】，（1）化简；（2）是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．条件A：“”是条件B：“”的 （ ）‎ ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分的条件 ‎ （C）充要条件 （D）既不是充分条件，又不是必要条件 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】A ‎2．的值是 （ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）4 （D）‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】C ‎3．已知 。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】‎ ‎4.化简下列各式：‎ ‎（1）______________. （2）_______________.‎ ‎（3）______________. （4）_______________.‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ ‎5. 已知为第二象限的角，,则 ‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】因为为第二象限的角,又, 所以，,‎ 所以 .‎ ‎6．若，则= ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】，而.‎ ‎7．已知，则 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】.‎ ‎8．。‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】因为，所以，‎ ‎，‎ 又因，所以 ‎ 所以，原式。‎ 二、 半角公式和万能公式 ‎ （一）知识精讲 ‎；；‎ ‎（）‎ 建议学生自己推导（通过倍角公式逆推半角公式）‎ ‎ （二）典型例题 ‎【例12】（1）已知，且，则 ； ； ；‎ ‎ （2）已知求的值；‎ ‎ （3）已知且是第二象限角，求的值。‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】（1），，‎ ‎ 由，则，位于第二象限，‎ ‎ 故，，。‎ ‎（2）（方法一）由，则，位于第四象限，‎ ‎ ；‎ ‎（方法二）由，位于第四象限，则， ‎ ‎（3）是第二象限角，是第一或第三象限角，故 ‎ ‎【例13】若是第二象限角，且，则是 （ ）‎ ‎ （A）第一象限角 （B）第二象限角 ‎ ‎ （C）第三象限角 （D）是第一或第二象限角 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】C ‎【例14】已知，，与均为锐角，求．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】∵，∴．‎ 又∵，，∴．若，‎ ‎∵，∴不可能．故．∴．‎ ‎ ，‎ ‎∵，∴．故．‎ ‎ 由余弦的二倍角公式，得 ‎ ‎ 由余弦的二倍角公式，得 ‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ ‎ ‎ 因此， 。‎ ‎【例15】(1) 已知，则 ;‎ ‎ (2) 若则的值是 （ ）‎ ‎ （A）（B） （C） （D）‎ ‎【难度】★‎ ‎【答案】(1) 2 ; (2) B ‎ ‎【例16】设，是第二象限角，求的值．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】因为，所以或．‎ 又因为是第二象限角，所以，．‎ 又是第一或第三象限角，从而=．‎ ‎【例17】已知，求的值 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】将两边平方，得到，‎ 由及，得，‎ ‎，从而.‎ ‎【灵活运用半角公式解决问题，条件时常平方；用解方程和半角公式的方法都可以求解半角的正切值.】‎ ‎【例18】已知，求的值。‎ ‎【难度】★★★‎ ‎【答案】由已知得：‎ ‎ 。‎ 由已知条件可知，，即，‎ 于是 ， ‎ ‎ ‎ 把代入上式得，。‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．（1）已知是第三象限角，并且，则等于 ；‎ （2） ‎2．若是第一象限角，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）已知，若，则可化简为____________‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1），是第三象限角，故，‎ ‎。‎ ‎（2），，‎ 是第一象限角，即，，是第一象限角或第三象限角 ‎.选D。‎ ‎（3）‎ ‎2．已知，，求的值.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】将两边平方，得到，‎ 由，得，‎ 解得 ，从而.‎ ‎3．若，则的值为 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】B 三、二倍角公式和半角公式的应用 ‎【例19】化简下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）‎ ‎ 因为且，或，所以 ‎ 当时，原式；当时，原式.‎ ‎ 所以，当时，原式；当时；原式无意义；当时，原式.‎ ‎（2）方法一：‎ 注意到，还可以得到下面的解法：‎ 方法二： ‎ ‎【例20】化简， ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ ‎ ‎∴ 原式=‎ ‎∵ ∴ ∴ ‎ 当时， ∴ 原式=‎ 当时，∴ 原式=‎ ‎∴ 原式=‎ ‎【例21】化简 ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式 ‎【例22】证明：‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】证明：‎ ‎【例23】证明：(1)；‎ ‎(2)；(3).‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】证明：(1)左边=‎ ‎=右边 ‎(2)左边=‎ ‎=右边 ‎(3)左边=‎ ‎ ‎ ‎【巩固训练】‎ ‎1．化简： ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】原式=‎ ‎2．求证：.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】 ‎ 所以，原恒等式成立 ‎3．求证：.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（方法一）.‎ 所以，原恒等式成立.‎ ‎（方法二）所以，原等式成立.‎ ‎【式子中有正弦、余弦及正切、余切时，应考虑统一成正弦、余弦；式子中有单角、半角、二倍角时，应考虑统一成单角.】‎ ‎【解 析】‎ 本节课学习了运用倍角和半角公式以及结合其他三角比公式灵活进行条件求值，恒等证明、化简等问题，在学习过程中，要注意以下问题：‎ ‎（1）注意公式中符号的选取；根号前的符号要根据所在象限选择其一；‎ ‎（2）注意公式的灵活应用，如逆用倍角公式可降幂，正用倍角公式可升幂；‎ ‎（3）半角是相对而言的(是的半角，是的半角)，因此要辩证地看待半角；‎ ‎（4）要记住公式的结构特点并能准确计算；‎ 一． 填空题 ‎1. 若，则的值为________‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎2. 若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值 ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】sin2q - cos2q = ‎ ‎3. 已知，化简：=________‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ ‎4. 求值： _________. ‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】‎ 二．选择题 ‎5. 已知角α在第一象限且,则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵角α在第一象限且,∴.‎ ‎∴‎ 故选C.‎ ‎6. 若△ABC的内角A满足,则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可知A为锐角,所以 又,故选A.‎ ‎7. 若=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】D ‎8. 若是△的一个内角，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】D 三．解答题 ‎9. 已知，，求和的值.‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】∵ ∴化简得： ‎ ‎∴‎ ‎ ∵ ∴ ∴ ，即 ‎10. 已知 ‎（1）求的值； （2）求的值 .‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】 (1)由得，‎ 即，‎ 又，所以为所求.‎ ‎(2)‎ 11. ‎（1）化简：；‎ ‎ （2） 已知≥1的常数），求的值。‎ ‎【难度】★★‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎