2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春外国语学校高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．是( )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，‎ 又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎2．不等式的解集为,则的值为(   )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得为方程两根，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.‎ ‎3．已知向量，若，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．‎ ‎4．函数的最小值为( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，时等号成立.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式，属于简单题.‎ ‎5．化简（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的加减法，属于简单题.‎ ‎6．若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，.‎ ‎【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎．‎ 选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎8．在等比数列中，成等差数列，则公比等于（ ）‎ A．1 或 2 B．−1 或 −2 C．1 或 −2 D．−1 或 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 ‎【详解】‎ 等比数列中，设首项为，公比为，‎ 成等差数列，，即，‎ 或 答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题 ‎9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，己知A=60°，则B=（ ）‎ A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理求出的值，再结合，得出，从而可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，则，所以，，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所适用的基本情形，同时在求得角时，利用大边对大角定理或两角之和不超过 得出合适的答案，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎10．已知等差数列中，则（　）‎ A．10 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 已知等差数列中，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.‎ ‎11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，故只需把函数的图象 上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.‎ ‎12．等比数列中，，，则的值为（ ）‎ A. B.‎ C.128 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.‎ ‎【详解】‎ 设公比为，则，∴，‎ ‎∴或，∴或，‎ 即或.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.‎ ‎13．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为(　　)‎ A．4 B．1 C．2 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出的最大值。‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，得，得点，‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，‎ 此时，直线在轴上的截距取得最大值，则，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移线性目标函数直线法，结合截距的最值来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题。‎ ‎14．设且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 项，由得到，则，故项正确；‎ 项，当时，该不等式不成立，故项错误；‎ 项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；‎ 项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．‎ 综上所述，故选．‎ ‎15．圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．‎ ‎【详解】‎ 圆锥的高和底面半径之比，‎ ‎∴，‎ 又圆锥的体积，‎ 即，‎ 解得；‎ ‎∴，‎ 母线长为，‎ 则圆锥的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎16．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，然后算出函数的周期，利用周期的公式，得到，最后将点 ‎ 代入，得： 结合，可得 ‎ 所以的解析式是．‎ 详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得，又∵函数的周期 ，利用周期的公式，可得，‎ 将点 代入，得： 结合，可得 ‎ 所以的解析式是．‎ 点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．‎ ‎17．已知向量，的夹角为，且，，则_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】将等式两边平方，展开后可得到关于的方程，解方程可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，将等式两边平方得，‎ 即，代入数据得，‎ 由于，解得，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量模的计算，在计算向量模相关的问题时，一般将与模相关的等式平方进行求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎18．若，且，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将变换为，展开利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 若，且，则 时等号成立.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.‎ ‎19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 连接、，取的中点，连接，‎ 在正方体中，，则四边形为平行四边形，‎ 所以，则异面直线和所成的角为或其补角，‎ 易知，由勾股定理可得，，‎ 为的中点，则，在中，，‎ 因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题。‎ 三、解答题 ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n－1，求数列{an}的通项公式an．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先令时，求出的值，再令，求出，再验证是否满足，于此得出数列的通项公式。‎ ‎【详解】‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 不满足上式，因此，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用前项和公式求数列的通项公式，其求解原则为，一般要对是否满足进行验证，从而可得出数列的通项公式，考查分类讨论数学思想，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．‎ 详解：（1）∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∵为锐角，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎ .‎ 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎22．已知．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）若，求的值域．‎ ‎【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）‎ ‎【解析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令，则 的对称轴为，最小正周期；‎ ‎（2）当时，，‎ 因为在单调递增，在单调递减，‎ 在取最大值，在取最小值，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.‎ ‎23．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点是和的交点．‎ ‎(1)证明： 平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1) 证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】(1)在中，利用中位线性质得到 ，证明平面.‎ ‎(2)直接利用体积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，点是的中点，底面是正方形点为中点 ‎ 根据中位线性质得到，平面，故平面.‎ ‎(2) 底面 ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎24．等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式; ‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件列有关和的方程组，求出和，即可求出等差数列的通项公式；‎ ‎（2）将数列的通项公式裂项，然后利用裂项求和法求出数列的前项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ 由可得，解得，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、裂项求和法，在求解等差数列的通项公式时，一般利用方程思想求出等差数列的首项和公差求出通项公式，在求和时要根据数列通项的基本结构选择合适的求和方法对数列求和，属于常考题型，属于中等题。‎ ‎25．已知，，，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设，，若的最大值为，求实数的值.‎ ‎【答案】(1)0 (2)‎ ‎【解析】（1）通过可以算出 ‎，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）通过可以算出，‎ 即 故答案为0.‎ ‎（2），设，，，‎ 即的最大值为；‎ ‎①当时，（满足条件）；‎ ‎②当时，‎ ‎（舍）；‎ ‎③当时，（舍）‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.‎