专题35+两条直线的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题35+两条直线的位置关系（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．0或－2 D．－1或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2。‎ ‎2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限。 ‎ ‎3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)‎ A．0或－ B.或－6‎ C．－或 D．0或 ‎【答案】B ‎4．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0与x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)‎ A．11 B．10‎ C．9 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两直线垂直，得－·2＝－1，解得a＝2.所以中点P的坐标为(0,5)。则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB＝2OP＝2×5＝10，所以线段AB的长为10。‎ ‎5．已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝，则直线AB的方程为(　　)‎ A．y＝x＋或y＝－x－ B．y＝x＋或y＝－x－ C．y＝x＋1或y＝－x－1‎ D．y＝x＋或y＝－x－ ‎【答案】B ‎6．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋。∵a＞1，‎ ‎∴a－1＞0.∴t≥5＋2＝9。‎ 当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立。‎ ‎7．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 ‎【答案】A ‎【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由d1＝d2＝1，‎ 得ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝≠0，‎ 化简得＝－(x1≠x2)，‎ 由x1＝x2得y1≠y2，b＝0，又P1，P2不在直线l上，所以直线P1P2与直线l平行；由d1＝1，d2＝－1或d1＋d2＝0得ax1＋by1＋c＝－(ax2＋by2＋c)，化简得a(x1＋x2)＋b(y1＋y2)＝－2c，得不到a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；若d1·d2≤0，则P1，P2可能都在直线l上，所以命题正确的是A项．‎ ‎8．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 ‎【答案】A ‎9．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ ‎10．若点P在直线l：x－y－1＝0上运动，且A(4,1)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　)‎ A. B. C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设A(4,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为A′(2，3)，∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，‎ 当P，A′，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值 ‎|A′B|＝＝3.‎ ‎11．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A. B．4 C. D．2 ‎【答案】C ‎【解析】∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，‎ ‎∴＝≠，解得a＝－1，‎ ‎∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，‎ ‎∴l1与l2的距离d＝＝.‎ ‎12．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 (　　)‎ A．(0,4) B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)． ‎ ‎13．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．‎ ‎【答案】－9‎ ‎14．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，‎ 于是　解得 故m＋n＝.‎ ‎15．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．‎ ‎【答案】1　(3,3)‎ ‎【解析】∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，‎ ‎∴a×1＋1×(a－2)＝0，‎ 即a＝1，联立方程 易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．‎ ‎16．已知点A(0,1)，直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－2y＋2＝0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是__________．‎ ‎【答案】(2，－1)　2x－y－5＝0‎ ‎17．已知M(x，y)为曲线C：＋＝1上任意一点，且A(－3,0)，B(3,0)，则|MA|＋|MB|的最大值是________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】原曲线方程可化为＋＝1，作图如下：‎ 由上图可得要使|MA|＋|MB|取得最大值，则M必须在菱形的顶点处，不妨取M(0，±)，或M(±4,0)，均可求得|MA|＋|MB|＝8，故|MA|＋|MB|的最大值为8.‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是______________．‎ ‎【答案】6x－8y＋1＝0‎ ‎【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，∴6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.‎ ‎19．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________。‎ ‎【答案】－5‎ ‎【解析】l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。因为两坐标轴垂直，故l1⊥l2，‎ 即2m＋10＝0，∴m＝－5。‎ ‎20．点P(0,1)在直线ax＋y－b＝0上的射影是点Q(1,0)，则直线ax－y＋b＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线方程为__________。‎ ‎【答案】x－y－1＝0‎ 必在x－y－1＝0上，且 则代入x－y－1＝0，得x－y－1＝0。 ‎ ‎21．已知点A(－5,4)和B(3,2)，则过点C(－1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为__________。‎ ‎【答案】x＝－1或x＋4y－7＝0‎ ‎【解析】由题可知，当过点C的直线斜率不存在时，即直线为x＝－1时，点A，B到直线的距离均为4；当直线斜率存在时，可知要使点A，B到直线的距离相等，则过点C的直线的斜率k＝kAB＝＝－，故此时直线方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋4y－7＝0。‎ 综上所述，所求直线方程为x＝－1或x＋4y－7＝0。‎ ‎22．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程。‎ ‎(1)l′与l平行且过点(－1,3)；‎ ‎(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；‎ ‎(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。‎ ‎23．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值。‎ ‎【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∴＝3。‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或。‎ ‎∴l方程为x＝2或4x－3y－5＝0。‎ ‎(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)。‎ ‎∴dmax＝|PA|＝。‎ ‎24．一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)。‎ ‎(1)求入射光线的方程；‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度。 ‎ ‎(2)∵l是QQ′的垂直平分线，‎ 因而|NQ|＝|NQ′|，‎ ‎∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|‎ ‎＝＝。‎ 即这条光线从P到Q的长度是。‎ ‎25．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．‎ ‎(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ ‎＝|PM|，‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ ‎∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，‎ ‎∴|PQ|<4，故所证成立．‎ ‎26．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行直线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝， ‎ 即＝，‎ 又a＞0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．‎