数学理卷·2018届甘肃省西北师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018

数学理卷·2018届甘肃省西北师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018

师大附中2018届高三第二次模拟考试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·龙岩质检]已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·凯里一中]已知函数，则满足的实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎ ‎ ‎3．[2018·赤峰期末]已知向量,，若与共线,则实数 的值是（ ）‎ A． B．２ C． D．４‎ ‎4．[2018·豫南九校]将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．[2018·天一大联考]《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．[2018·行知中学]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·凯里一中]如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8．[2018·深圳一模]已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点(点在第一象限)，若，则以为直径的圆的标准方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．[2018·昆明一中]已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则（ ）‎ A．-3 B．-2 C．2 D．3‎ ‎10．[2018·合肥一模]某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1‎ 小时．、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）‎ A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 ‎11．[2018·四川联考]中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．‎ ‎ ‎ 例如：163可表示为“”，27可表示为“”．问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）‎ A．48 B．60 C．96 D．120‎ ‎12．[2018·宿州质检]偶函数定义域为，其导函数是．当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·西城期末]设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．‎ ‎14．[2018·沈阳质检]已知随机变量，若，则___．‎ ‎15．[2018·行知中学]已知函数的图象关于点对称，记在区间上的最大值为，且在（）上单调递增，则实数的最小值是__________．‎ ‎16．[2018·遵义联考]已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·天一大联考]已知的内角，，满足 ‎．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·池州期末]某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：‎ 一次购物款（单位：元）‎ 顾客人数 统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．‎ ‎（1）试确定，的值，并估计每日应准备纪念品的数量；‎ ‎（2）现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·龙岩质检]已知梯形如图（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·宿州质检]已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，为椭圆的右顶点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与椭圆相交于两点（，不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·漳州质检]已知函数，的图象在处的切线方程为．‎ ‎（1）求函数的单调区间与极值；‎ ‎（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·天一大联考]在直角坐标系中，曲线的参数方程是 ‎（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·深圳一模]已知，，且．‎ ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 理科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】求解二次不等式可得：，则，‎ 由Venn图可知图中阴影部分为：．‎ 本题选择D选项．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】，即．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由，，则，，‎ 因为与共线，所以，解得，故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：，，，，，其和为60，故，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为，故选D．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】，，否，；‎ ‎，否，；‎ ‎，否，；‎ ‎，，是，即；‎ 解不等式，，且满足，，‎ 综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是，故选．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】设方程为，由，得，则，解得，，可得，，圆心坐标为，中点坐标，，圆半径为，以为直径的圆方程为，故选A．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】∵函数是奇函数，∴，又∵，‎ ‎∴，∴，即，∴是以为周期的周期函数，∵，，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，，‎ 又∵，，‎ ‎∴．故选A．‎ ‎ ‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值为z，由题意可得约束条件：‎ ‎，‎ 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数的最大值．‎ 目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：‎ 目标函数在点处取得最大值：千元．‎ 本题选择B选项．‎ ‎ ‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】设8根算筹的组合为，‎ 不考虑先后顺序，则可能的组合为：，，，，‎ 对于，组合出的可能的算筹为：，，，共4‎ 种，‎ 可以组成的三位数的个数为：种，‎ 同理可以组成的三位数的个数为：种，‎ 对于，组合出的可能的算筹为：‎ ‎，，，，，共6种，‎ 可以组成的三位数的个数为：种，‎ 同理可以组成的三位数的个数为：种，‎ 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为．‎ 本题选择C选项．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】令，则，‎ 当时，有，则，‎ 又，‎ ‎∴为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，当时，，即，‎ 且，故或，故选．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】-1‎ ‎【解析】复数，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以．故．‎ ‎14．【答案】0.8‎ ‎【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线对称，则：‎ ‎，则：．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】，所以，又，得，‎ 所以，且求得，‎ 又，得单调递增区间为，‎ 由题意，当时，．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由，可得，故为直角三角形，且，‎ ‎∴．‎ 由双曲线定义可得．‎ ‎∵，∴，可得．‎ 又，整理得．‎ ‎∴．‎ ‎∴，又，∴，即双曲线的离心率的取值范围为．‎ 答案：‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】（1）设内角，，所对的边分别为，，．‎ 根据，‎ 可得，·········3分 所以，‎ 又因为，所以．·········6分 ‎（2），·········8分 所以，·········10分 所以（时取等号）．·········12分 ‎18．【答案】(1)2400；(2)见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有，；．·········2分 该商场每日应准备纪念品的数量大约为．·········4分 ‎（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，·········5分 故4人购物获得纪念品的数量服从二项分布，·········6分 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，·········11分 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 数学期望为．·········12分 ‎19．【答案】(1)见解析；（2）与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【解析】（1）证明：由平面平面，，‎ 平面平面，平面，‎ 得平面，又平面，‎ ‎∴，·········2分 由为正方形得，·········3分 又，，平面，‎ ‎∴平面，·········4分 又∵平面，∴平面平面．·········5分 ‎（2）由平面得，，‎ 又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，····6分 设，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，，‎ ‎，得，取，得，·········9分 ‎∵平面，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，·········11分 设与平面所成的角为，则 ‎，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为．·········12分 ‎20．【答案】(1)；（2）直线过定点，定点坐标为．‎ ‎【解析】（1）由已知，‎ ‎∴，∴椭圆的标准方程为．·········4分 ‎（2）设，，‎ 联立得，‎ ‎，，‎ ‎·········6分 又，‎ 因为椭圆的右顶点为，‎ ‎∴，即，·········7分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．·········10分 解得：，，且均满足，·········11分 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．·········12分 ‎21．【答案】(1)函数的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞),所以函数在处取得极小值；(2)的最小值为0．‎ ‎【解析】（1），‎ 因为，所以，易得切点，所以．‎ 易知函数在上单调递增，且．‎ 则当时，；当时，．‎ 所以函数的单调递减区间为；单调递增区间为．‎ 所以函数在处取得极小值．·········5分 ‎（2），()‎ 令，‎ 若存在实数x，使得不等式()成立，则，·········6分 ‎，易知在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎，‎ ‎（或由当时取等号，得）‎ 所以存在唯一的，使得，·········8分 且当时，；当时，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，·········9分 又，即，‎ 所以．·········10分 所以，‎ 因为x0∈，所以，‎ 则，又．‎ 所以的最小值为0．·········12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）或或．‎ ‎【解析】（1），‎ 故曲线的普通方程为．‎ 直线的直角坐标方程为．·········5分 ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）．‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，‎ 可以得到，‎ 所以或，‎ 解得或或．·········10分 ‎23．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，‎ 由，得．‎ 故．‎ 所以．‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 综上，．·········5分 ‎（2）‎ ‎．‎ 另解：‎ 由柯西不等式，可得．·······10分 ‎ ‎ ‎ ‎