2011高考数学专题复习：《几何概型》专题训练二

2011高考数学专题复习：《几何概型》专题训练二

‎2011年《几何概型》专题训练二 一、选择题 ‎1、已知函数，其中 记函数满足的事件为，则事件的概率为 ‎ ‎ ‎2、如图‎10 -3 -3‎，在一个边长为2的正方形中随机撒人200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为 A. B. C. D.‎ ‎3、如图‎10 -3 -4‎所示，墙上挂有一长为，宽为2的矩形木板，它的阴影部分是由函数的图象和直线围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎4、在长为‎12 cm的线段上任取一点，并且以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 与81 之间的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎5、在500的水中有一个细菌，现从中随机取出2 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是 ‎ A.0. 004‎ B.‎0.002 C.0.04 D.0.02‎ ‎6、如图‎10 -3 -5‎，是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点，连结，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎7、已知正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点，使得 的概率是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎8、如图‎10 -3-2‎所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为导的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是___.‎ ‎9、在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，则 >的概率是 ‎10、已知集合，集合 ‎，在集合中任取一个元素，则的概率是.‎ ‎11、点为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧 的长度小于1的概率为____.‎ ‎12、如图‎10 -3-6‎，半径为10 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 的小圆，现将半径为1 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为____．‎ 三、解答题 ‎13、已知三个正数，，．‎ ‎(1)若<<，且，，是从中任取的三个数，求，，能构成三角形三边长的概率；‎ ‎(2)若，，是从(0，1)中任取的三个数，求，，能构成三角形三边长的概率．‎ ‎14、已知关于的一元二次函数 ‎(1)设集合，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间[)上是增函数的概率；‎ ‎(2)设点()是区域内的随机点，求函数在区间[）上是增函数的概率．‎ ‎15、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．‎ ‎(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；‎ ‎(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 ‎16、在线段上任取两点、，在、处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．‎ ‎17、已知集合，集合 ‎(1)若，求的概率；‎ ‎(2)若，求的概率．‎ ‎18、一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎19、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中任选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 ‎(1)求文娱队的人数；‎ ‎(2)写出的分布列，并计算.‎ ‎20、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数；‎ ‎(2)求随机变量的概率分布及数学期望；‎ ‎(3)求甲取到白球的概率．‎ ‎21、某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．‎ ‎ (1)用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；‎ ‎ (2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．‎ ‎22、一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：‎ ‎,‎ ‎(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率；‎ ‎(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ ‎23、某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．‎ ‎ (1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；‎ ‎ (2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数孝是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎24、袋中有8个颜色不同，其他都相同的球，其中1个为黑个为白球，4个为红球．‎ ‎ (1)若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率； ‎ ‎ (2)若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的数为，求随机变量的分布列，并求f的数学期望和方差 ‎25、在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数 ‎ (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；‎ ‎ (2)设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数l，2和2，3，此时的值是2）．求随机变量孝的分布列及其数学期望.‎ ‎26、有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试盼次数为随机变量，求的分布列．‎ ‎27、(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图‎10 -4 -1‎所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？‎ ‎ (2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图‎10 -4-2‎所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花．‎ ‎ ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；‎ ‎ ②记花圃中红色鲜花区域的块数为，求的分布列及其数学期望．‎ ‎ ‎ ‎28、袋中装有标号分别为1、2、3、4、5、6的卡片各1张，从中任取两张卡片，其标号分别记为，（其中）．‎ ‎ (1)求这两张卡片的标号之和为偶数的概率；‎ ‎ (2)设，求随机变量的分布列与数学期望．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A解析：满足的区域的面积为4×4= 16，由，得，其表示的区域如图Dl‎0 -3 -5‎中阴影部分所示，其面积为，故事件A的概率为 ‎2、B 解析：豆子落在阴影区域内的概率是，设阴影部分的面积为S，则 ‎，解得，故选B．‎ ‎3、D解析：由余弦函数图象的对称性知，阴影部分的面积为矩形ABCD的面积的一半，故所求概率为．选D．‎ ‎4、A 解析：正方形的面积介于36 与81 之间即AM的长度介于6到9之间，则其概率为 ‎．选A．‎ ‎5、A 解析：由于取水样的随机陛，事件“在取出的2 mL水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即，故选A．‎ ‎6、C 解析：当的长度等于半径长度时，，点左右各一，放由几何概型的概率公式得，故选C．‎ ‎7、A 解析：要使，需使三棱锥P -ABC的高小于三棱锥S-ABC的高的一半，过点P作底面的平行平面，将棱锥分成上下两部分，所求概率即为下面棱台的体积与三棱锥S一ABC的体积之比，三棱锥S -ABC的体积为，上面截得小三棱锥的体积是，故所求概率为故选A．‎ 二、填空题 ‎8、 解析 阴影部分的面积 正方形木板的面积为，故击中阴影部分的概率是 ‎9、解析：设等腰直角三角形ABC的直角边为，则斜边为2，故所求概率为 ‎10、 解析：所求概率为集合B表示的圆及其内部区域与集合A表示的正方形区域的公共部分的面积与正方形区域的面积的比值，易求得为 ‎11、 解析 如图Dl‎0 -3 -1‎，可设，根据几何概型的概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是 ‎12、解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2—9 cm的圆环上，圆环的面积为故所求概率为 三、解答题 ‎13、解析 (1)若，，能构成三角形，则 ‎①若，则，共1种；‎ ‎②若，则或，共2种；‎ 同理时，有3 +1 =4种；‎ 时，有4 +2 =6种；‎ 时，有5 +3 +1 =9种；‎ 时，有6 +4 +2 =12种，‎ 于是共有种．‎ 下面求从中任取三个数，， (<<)的种数：‎ 若，则，有7种；‎ 若，则，有6种；‎ 若，则，有5种；‎ 若，则，有1种．‎ 若时，共有种，‎ 同理，时，有种；‎ 时，有种；‎ 时，有种；‎ 时，有3 +2 +1 =6种；‎ 时，有2 +1 =3种；‎ 时，有1种．‎ 故共有 ‎，，能构成三角形的概率为 ‎(2) 、、能构成三角形的充要条件是 在坐标系内画出满足以上条件的区域（如图Dl‎0-3 -7‎阴影部分所示），由几何概型的概率计算方法可知，求出图中阴影部分的面积与正方形的面积比即可，‎ 又，于是所求的概率为 ‎14、解析 (1)函数的图象的对称轴为 要使在区间[1，）上为增函数，当且仅当且．即且，若则，若则，若，‎ 事件包含的基本事件的个数是1+2 +2 =5，‎ 所求事件的概率为 ‎（2)由(1)知当且仅当且时，函数 在区间[1，）上为增函数，‎ 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形区域，‎ 由得交点坐标为 所求事件的概率为 ‎15、解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为、．则且 或作出区域或 如图Dl‎0 -3 -2‎所示，‎ 设“两船无需等待码头空出”为事件A，则 ‎(2)若甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，两船不需等待码头空出，则满足．‎ 设在上述条件时“两船不需等待码头卒出”为事件B，作出区域，如图Dl0 -‎ ‎3 -3所示，则 ‎16、解析 设线段AD之长为1，而线段之长分别为，，由于B、C在线段AD上，因而应有先设<，这时，能构成三角形的充要条件是 注意 代入上面三式，得 如图Dl‎0 -3 -6‎，符合此条件的点(，)必落在△CFE中．‎ 同样地，当< 时，当且仅当点(，)落在△EHI中，能构成三角形，所以所求的概率为 ‎17、解析(1)因为，所以(，)可取(O，1)，(0，2)，(0，3)，(1，1)，(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)，共9组，‎ 令，则 因为，所以 即在[-1，O]上是单调递增函数．‎ 在[-1，0]上的最小值为 要使，只需，即 所以（）只能取(O，1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共7组．‎ 所以的概率为 ‎(2)因为 [O，2]， [1，3]，所以(a，)对应的区域为边长为2的正方形（如 图Dl‎0 -3 -4‎），面积为4．‎ 由(1)可知，要使,只需 所以满足的(．)对应的区域是图Dl‎0 -3 -4‎中的阴影部分，‎ 所以所以的概率为 ‎18、依题意，可取5，6，7，8，9，10，11，则有 的分布列为 ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19、设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（7-）人，那么只会一项的人数是(7 - 2x)人，‎ 即 故文娱队共有5人 ‎(2) 的分布列为 ‎ O ‎ l ‎ 2‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、(1)设袋中原有个白球，由题意知：＝‎ 所以，解得（舍去，），即袋中原有4个白球．‎ ‎(2)由题意，的可能取值为l，2，3，4，且 所以的分布列为：‎ ‎ l ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次和第3次取球，记“甲取到白球”的事件为A，‎ 则或 ‎21、（1) 可能的取值为0，1，2，3，且 的分布列为 ‎ O ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望为 ‎(2)所求的概率为 ‎22、(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片t的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 ‎(2) 可取l，2，3，4，且 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎23、(1)记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A，则 ‎(2)随机变量的可能值为2，3，4．且 随机变量的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎24、(1)摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为，故所求概率为 ‎(2)符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有=12种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其他颜色球，共有 ＝24种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有=4种不同摸法，故符合条件媳 不同摸法共有40种． ‎ 由题意知随机变量的取值可以为l，2，3.得随机变量的概率分布为：‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25、(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则 ‎(2)随机变量的取值为o，l，2．的分布列为 ‎ ‎ ‎ O ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的数学期望为 ‎26、‎ 的分布列为 ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎27、(1)根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：48种．‎ ‎(2)①设M示事件“恰有两个区域用红色鲜花”如图Dl‎0 -4 -1‎，当区域A、D同色时，共有种摆放方案；‎ ‎ 当区域A、D不同色时，共有种摆放方案；因此，所有基本事件总数为180 +240= 420.由于只有A、D，B，可能同色，所以A、D为红色时，共有种摆放方案；B、E为红色时，共有种摆放方案；因此，事件M包含的基本事件有36 +36 =72种．所以，‎ ‎②根据①的分析方法，可求得 故随机变量S的分布列为：‎ ‎ s ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎28、(l) 同奇的取法有种，同偶的取法有种，‎ 所求概率为 ‎(2)由题意知，的可能取值为1，2，3，4，5，且 的分布列为 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎