数学理卷·2017届山西省“晋商四校”高三11月联考（2016

数学理卷·2017届山西省“晋商四校”高三11月联考（2016

‎2016—2017学年度“晋商四校”高三联考 数学试题（理科）‎ 本试卷满分150分 考试时间120分钟 ‎ 一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）‎ ‎1. 集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 设则 ‎ A. B. C. D．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3. 已知数列为等比数列，且，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎4．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为 A． B． C． D．‎ ‎5. 下列命题正确的是 A．命题的否定是：；‎ B．命题中，若，则的否命题是真命题；‎ C．平面向量与的夹角是钝角的充要条件是：；‎ D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件；‎ ‎6．函数（其中且）的 ‎ 图象如图所示，为了得到的图象，‎ 只需把的图象上所有点 ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎ ‎7. 已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知数列的前和为，，，则 A． B． C． D．‎ ‎9. 在中，若且，则面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎10. 设函数(其中)在上既无最大值，也无最小值，且，则下列结论成立的是 A．若对恒成立，则；‎ B．的图象关于点中心对称；‎ C．函数的单增区间为：；‎ D．函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是.‎ ‎11. 等差数列前项和为，已知 ‎ ‎，则 A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎12. 函数，若且，给出下列三个结论： ① ； ‎ ‎②； ‎ ‎③已知关于的方程恰有三个不同实根，若为偶数，则；若为奇数，则；其中正确的结论有（ ）个．‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 已知，且与垂直，则实数的值为 . ‎ ‎14. 已知则 .‎ ‎15. 已知 ，则函数有_____个零点. ‎ ‎16. 设的三个内角的对边分别为，‎ 且，则角的取值范围为_______.‎ 三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.（本小题10分） 已知 ‎（1）若向量，，且∥，求的值；‎ ‎（2）在中，角的对边分别是，且满足，‎ 求的取值范围.‎ ‎18．（本小题12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区年人口总数为万，实施“放开二胎”‎ 新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从年开始到年每年人口比上年增加万人，从年开始到年每年人口为上一年的．‎ ‎（1）求实施新政策后，从年开始到年，第年的人口总数的表达式；‎ ‎（2）若新政策实施后的年到年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到年后是否需要调整政策？（说明:）.‎ ‎19．（本小题12分）设的三个内角的对边分别为，‎ 且，． （1）求角的大小；‎ ‎ （2）若的面积为，求的周长．‎ ‎20.（本小题12分）已知数列的前项和，‎ 且的最大值为. 　（1）求常数的值，并求；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎　（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，‎ 若，求数列的前项和．‎ ‎21.（本小题12分）已知函数的图象在点处的切线 ‎ 方程为 ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）若满足恒成立，则称是的一个“游离承托函数” ．‎ 证明：函数，是函数的一个“游离承托函数”．‎ ‎22. （本小题12分）已知函数， ‎ ‎（1）若对于任意的实数，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，且实数，若函数存在两个极值点，‎ 证明：且 ‎2016—2017学年度“晋商四校”高三联考 数学答案（理科）‎ 一．选择题： A D A C D A B C A B C A 二、填空题：13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎ ‎17.（本小题10分）‎ 解：（1），………2分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即，所以 ……………5分 ‎（2）因为，‎ 由正弦定理得：……………6分 即 又中，∴‎ ‎∵，∴，则， ……………8分 因此，于是， 由，‎ ‎∴，故的取值范围为 …10分 ‎18. （本小题12分）‎ 解：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎∴； ……………2分 当时，数列是公比为的等比数列，又，‎ ‎∴ ……………4分 因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为 ‎ ……………6分 ‎（2）设为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及 等比数列的求和公式得：‎ ‎ 万………9分 ‎∴新政策实施到年年人口均值为，……………11分 故到年不需要调整政策． ……………12分 ‎19．（本小题12分）‎ 解：（1）∵在中，‎ ‎∴，∴， ………………2分 又，由正弦定理得：， 又，∴， …4分 由可知角为锐角， ………5分 ∴ …………6分 ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴……8分 由余弦定理：，及，‎ ‎∴，∴，…………11分 ‎∴的周长为：………………12分 ‎20.（本小题12分）‎ 解：（1）‎ ‎ ……………2分 ‎∴，当时，，‎ ‎　　当时，，…………4分 显然适合，‎ ‎∴数列的通项公式为 ……………5分 ‎（2）依题意有，　　∴，‎ 又，∴ ……………7分 ‎∴……………8分 且，前和为：；……………9分 令，前和为记为：，‎ 则 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴ ……………11分 ‎∴ ……12分 ‎21．（本小题12分）‎ 解：（1）当时，，代入得，……………1分 所以，， ……………3分 由切线方程知，所以，故．……………5分 ‎（2）由题要证函数，是函数的一个“游离承托函数”，‎ 只要证明当时，在公共定义域上恒成立，即证明：‎ 当时，对于恒成立，‎ 由于，，，‎ 只要证明：对于恒成立即可．……………6分 证明：令，，‎ 则，令，则，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴在上单调递增，且，，‎ ‎∴，使得成立，……………8分 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ ‎∴， ……………9分 又由，得，且…………10分 ‎∴……………11分 ‎∴对于恒成立 ‎∴函数，是函数的一个“游离承托函数”，得证. ……………12分 ‎22．（本小题12分）‎ 解：（1）由题：，且， ……………1分 ‎ ‎①当时，，时，，不满足条件；………2分 ‎②当时，，∴在上单调递增，‎ ‎ 令且，∴‎ ‎∴不恒成立，∴不满足条件；……………3分 ‎③当时，令，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ ‎∴ ……………4分 由题，即：，‎ 令，且，则，，………5分 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎∴，∴只有满足条件；‎ 综上：实数的取值范围为 ……………6分 ‎（2）依题意，，∴ ，‎ 由，得，令，，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，‎ 时，，且；，且，‎ ‎∴时，有两个变号零点，有两个极值点，满足条件；…8分 令，则. ‎ 因为函数存在两个极值点（不妨设），‎ 所以,是的两个零点，且，‎ 令得 ；令 得；‎ 令得.‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 又因为，所以必有. ……………9分 ‎ 且，得，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎，‎ 令，且，，‎ 此时 .…………10分 则.‎ 当时，因为，所以，则在单调递增，‎ 因为，所以，‎ 又，所以；…11分 当时，，所以，则在单调递减，‎ 因为，所以.‎ 综上知：且，‎ 即：且． ……………12分