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文档介绍
2018-2019学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版
绝密★启用前 辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1.椭圆的焦距是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出椭圆的c,即得椭圆的焦距. 【详解】 由题得所以焦距为.故答案为:A 【点睛】 本题主要考查椭圆的几何性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2.在等差数列中,已知,,公差,则( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式求解. 【详解】 ∵等差数列{an}中,a2=12,an=﹣20,公差d=﹣2, ∴an=a2+(n﹣2)d, ∴﹣20=12﹣2(n﹣2), 解得n=18, 故答案为:C. 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的应用,是基础题. 3.直线与椭圆的公共点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出,代入椭圆方程化简,再利用判别式判断公共点的个数. 【详解】 由题得,代入椭圆方程得, 所以直线和椭圆的交点的个数为1,故答案为:B 【点睛】 本题主要考查椭圆和直线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4.若,则下列不等式不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得a<b<0,再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解. 【详解】 由题得a<b<0, 对于选项A,=,所以选项A错误. 对于选项B,显然正确. 对于选项C,,所以,所以选项C正确. 对于选项D,,所以选项D正确. 故答案为:A 【点睛】 (1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是:作差→变形(配方、因式分解、通分等)→与零比→下结论;比商的一般步骤是:作商→变形(配方、因式分解、通分等)→与1比→下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差. 5.设正项等比数列的前项和为,且,则数列的公比为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题得等比数列的公比q≠1,直接代等比数列的前n项和公式化简即得解. 【详解】 由题得等比数列的公比q≠1,所以 所以, 因为数列各项是正数,所以q=2. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查等比数列的前n项和公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 6.如图,分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值为( ) A. B. C. 12 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 与椭圆两个焦点有关的问题,一般以回归定义求解为上策,抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系. 【详解】 ∵△POF2是面积为的正三角形, ∴S=|PF2|2=,|PF2|=2. ∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=, 所以. 故答案为:B. 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质,关键抓住图形特征建立等式关系. 7.已知命题是命题“已知为一个三角形的两内角,若,则”的否命题命题:公比大于1的等比数列是递增数列。则在命题:,:,:和:中,真命题是( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断命题和的真假,再判断每一个选项的真假. 【详解】 对于命题,其否命题为“已知为一个三角形的两内角,若,则”,是真命题,对于命题,首项为-1,公比为2的等比数列,就是递减数列,所以该命题是假命题. 所以,是真命题,,是假命题.故答案为:C 【点睛】 (1)本题主要考查四种命题及其真假的判断,考查复合命题的真假,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真. 8.已知数列满足,若,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过计算出前几项的值确定周期,进而可得结论. 【详解】 依题意,a2=2a1﹣1=2•﹣1=, a3=2a2﹣1=2•﹣1=, a4=2a3=2•=, ∴数列{an}是以3为周期的周期数列, 因为2020=3×673+1, ∴a2020=a1=, 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查数列的周期性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9.已知,分别在轴和轴上运动,为原点,,点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设动点 坐标为 由得: 即 故选A. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法,其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键 10.已知集合,,则交集所表示的图形面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先作出集合M,N对应的区域,再求所表示的图形面积. 【详解】 由题得集合M对应的区域为图中的边长为的正方形ABCD,集合N对应的区域为图中的两个阴影正方形,所以所表示的图形面积为 故答案为:C 【点睛】 本题主要考查集合的交集运算和线性规划,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 11.设条件:实数满足条件:实数满足,则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件又不是必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 通过举反例可得,当成立时,不能推出q成立,利用不等式的性质可以由q成立推出p成 立,从而得到结论. 【详解】 当p成立时,不能推出q成立, 如 m=3且 n=时,尽管满足p,但不满足q. 但由q成立,由不等式的性质能推出p成立, 故p是q的必要不充分条件, 故答案为:B. 【点睛】 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法,不等式的基本性质的应用, 通过举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题。 12.若存在,使不等式成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先分离参数得到,再求函数最小值,解不等式得解. 【详解】 由题得, 因为, 所以当时,函数取到最小值 故答案为:A 【点睛】 本题主要考查不等式的存在性问题,考查函数的最值的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.《张邱建算经》记载一题:今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月,日织九匹三丈.问日益几何?题的大意是说,有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺,一个月(30天)后共织布390尺,则该女子织布每天增加了______尺. 【答案】 【解析】 【分析】 设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为d,利用等差数列的求和公式即可得出. 【详解】 设每天织布的尺数成等差数列{an},公差为d, 则5×30+d=390, 解得d=. 故答案为:. 【点睛】 本题考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.如果关于的不等式的解集是非空集合,则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式>ax+变形得﹣ax﹣>0即﹣a+﹣>0.当﹣a<0即a>0时,y=﹣ a+﹣是开口向下的抛物线,因为解集是非空集合{x|4<x<m},得到4和m为y=0 时的解,把4和m代入求得a和m得解. 【详解】 由不等式>ax+ ﹣ax﹣>0即﹣a+﹣>0 设y=﹣a+﹣ 当﹣a<0即a>0时,y是开口向下的抛物线. 又因为不等式>ax+的解集是非空集合{x|4<x<m}, 所以4和m为y=0时方程的两解,把4代入y得:2﹣4a﹣=0解得a=;把m代入y得:﹣ ﹣=0解得m=36. 故答案为:36 【点睛】 本题考查一元二次不等式的应用,分类讨论思想,是中档题. 15.已知椭圆的左右焦点为,过的直线与圆相切于点,并与椭圆交于两点,若,则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出再求出3b=2a,再化简即得解. 【详解】 因为OA⊥PQ,, 所以 所以 故答案为: 【点睛】 本题主要考查椭圆离心率的计算,考查椭圆的几何性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16.已知数列,,,前项和为,则_______ 【答案】11 【解析】 【分析】 先给n取值求出 ,再求出即得解. 【详解】 由题得n=1时,, 所以, 计算得 所以.故答案为:11 【点睛】 本题主要考查递推数列和求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 评卷人 得分 三、解答题 17.用一根长7.2米的木料,做成“日”字形的窗户框,窗户的宽与高各为多少时,窗户的面积最大?并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积) 【答案】窗户宽1.2米,高1.8米时,面积最大,最大值为2.16平方米 【解析】 【分析】 由题意设窗户的宽为米,则窗户的高为米,再求出窗户的面积 ,再利用基本不等式求函数的最大值和x的值得解. 【详解】 由题意设窗户的宽为米,则窗户的高为米, 窗户的面积 (或), 当且仅当时,即时,取“=” 答:当窗户宽1.2米,高1.8米时,面积最大,最大值为2.16平方米 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18.已知椭圆, (Ⅰ)求出椭圆上的动点到点的距离的最大值; (Ⅱ)若点是椭圆的左顶点,在椭圆上,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,求斜边的长。 【答案】(1); (2). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意设,再求出,再求函数的最大值. (Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得解方程即得m的值和斜边的长. 【详解】 (Ⅰ)由题意设, , 当时,取最大值. (Ⅱ)由题意设点 ,代入方程得 ,则或,斜边BC长为. 【点睛】 本题主要考查椭圆中的最值和直线与椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 19.已知数列满足. (Ⅰ)若成等差数列,求的值; (Ⅱ)是否存在,使数列为等比数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由. 【答案】(1); (2)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意得,,因为成等差数列,则,即,解方程即得的值. (Ⅱ)若数列为等比数列,则必成等比数列,则,解得,此时 ,公比 ,又,所以不存在,使数列为等比数列。 【详解】 (Ⅰ)由题意 , ,, 若成等差数列,则,即 解得. (Ⅱ)若数列为等比数列 则必成等比数列,则,即 解得,此时 ,公比 , 又, 所以不存在,使数列为等比数列。 【点睛】 本题主要考查递推数列,考查等差数列和等比数列的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 20.已知关于的不等式,其中. (Ⅰ)当变化时,试求不等式的解集; (Ⅱ)对于不等式的解集,若满足(其中为整数集),试探究集合能否为有限集?若能,求出使得集合中元素个数最少的的值,并用列举法表示集合,若不能,请说明理由. 【答案】(1)见解析; (2). 【解析】 【分析】 (Ⅰ)对k分类讨论求出不等式的解集 由(1)知:当时,集合中的元素的个数无限;当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集,再求得当时,集合的元素个数最少,求出集合B. 【详解】 (Ⅰ)当时,; 当且时,; 当时,; 当时,. (Ⅱ)由(1)知:当时,集合中的元素的个数无限; 当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集. 因为,当且仅当时取等号, 所以当时,集合的元素个数最少. 此时,故集合. 【点睛】 本题主要考查解不等式和基本不等式,考查集合,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 21.已知椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直),若的中点为,为坐标原点,直线交直线于. (Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求的最大值. 【答案】(1)见解析; (2). 【解析】 【分析】 (Ⅰ) 联立可得.设点的坐标为,点的坐标为,再计算出的斜率为,的斜率为,即得.因此与垂直. (Ⅱ)先求出 ,再求,即得的最大值. 【详解】 (Ⅰ)联立可得. 设点的坐标为,点的坐标为,则 ,. 于是有. 因为的中点为,所以.因此的斜率为. 因为直线交直线于,所以.故的斜率为, 即得.因此与垂直,. (Ⅱ)设 . 令,则. 由于,故. 因此(当时取到最大值,也即). 综上所述,的最大值为. 【点睛】 (1)本题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线的位置关系,考查椭圆中的最值问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点,其一是求出,其二是求函数的最大值. 22.已知数列中,,对于任意的,有. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列满足,求数列的通项公式; (Ⅲ)设,是否存在实数,使数列是递增数列,若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】(1); (2);(3). 【解析】 【分析】 (1)取,,则.所以,即是公差为2,首项为2的等差数列.再求数列的通项.(2)利用作差法求数列的通项公式.(3) 由题意得:,假设存在,使,化简得 ,再对n分奇数和偶数两种情况讨论,分别分离参数求出 【详解】 (1)取,,则. 所以,即是公差为2,首项为2的等差数列. 所以.检验对任意成立。 (2)因为 ① 所以.② ①—②得:,所以. 当时,,所以,满足上式. 所以. (3)由题意得:, 假设存在,使, 则. 所以. 所以. 若为正偶数时,恒成立, 则, 所以. 所以. 若为正奇数时,恒成立, 则, 所以. 所以. 综上可知,存在实数.使时,恒成立. 【点睛】 (1)本题主要考查数列通项的求法,考查等差数列的通项,考查数列的单调性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键是分离参数求的范围.查看更多