【数学】2020届一轮复习人教A版第78课总体特征数的估计学案(江苏专用)
第78课 总体特征数的估计
1. 会根据实际问题的需求,合理地选取样本,掌握从样本数据中提取基本的数据特征(如平均数、方差、标准差)的方法.
2. 理解统计中的常用术语:总体、个体、样本、平均数、方差、中位数、众数.
3. 体会用样本估计总体的统计思想,解决简单的实际问题;会通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,体会统计思维与确定性思维的差异,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
1. 阅读:必修5第65~78页.
2. 解悟:①ai=a1+a2+…+an;②哪些量可以估计总体的特征?③标准差是样本数据到平均数的一种平均距离;④方差和标准差的公式.
3. 践习:在教材空白处,完成第72~73页习题第4、5、6、7题.
基础诊断
1. 若一组样本数据9,8,x,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为 2 .
解析:由题意知×(9+8+x+10+11)=10,解得x=12,所以该组样本数据的方差为s2=×[(9-10)2+(8-10)2+(12-10)2+(10-10)2+(11-10)2]=2.
2. 若数据x1,x2,x3,x4,x5,3的平均数是3,则数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是 3 W.
解析:由题意得x1+x2+x3+x4+x5+3=3×6,则x1+x2+x3+x4+x5=15,所以x1,x2,x3,x4,x5的平均数为(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=15÷5=3.
3. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是2,则数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为 W.
解析:因为数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为2,所以2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为22×2=8,所以其标准差为2.
4. 如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是 甲 .
解析:x甲=(87+89+90+91+93)÷5=90,s=×[(87-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=4;x乙=(78+88+89+96+99)÷5=90,s=×[(78-90)2+(88-90)2+(89-90)2+(96-90)2+(99-90)2]=53.2.因为s
4,则去掉一个最高分90+x和一个最低分86后,平均分为×(89+91+92+92+94)=91.6(分),不符合题意,故x≤4,最高分是94.去掉一个最高分94和一个最低分86后,平均分是×(89+92+90+x+91+92)=91,解得x=1.
已知样本6,7,8,9,m的平均数是8,则该数据的标准差是 .
解析:由题意得×(6+7+8+9+m)=8,解得m=10,所以该数据的方差s2=×[(8-6)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-10)2]=2,所以s=.
考向❷ 方差
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数分别是:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1) 分别计算两组数据的平均数;
(2) 分别计算两组数据的方差;
(3) 根据计算结果,估计一下两名战士的射击水平谁更好一些.
解析:(1) x甲=×(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环),
x乙=×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环).
(2) 由方差公式s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]可求得s=3,s=1.2.
(3) 由x甲=x乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当.因为s>s,说明甲战士射击水平波动大,所以乙战士比甲战士射击水平更稳定.
甲、乙两位选手参加射击选拔赛,其中连续5轮比赛的成绩(单位:环)如下表:
选手
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
则甲、乙两位选手中成绩比较稳定的选手的方差是 0.02 .
解析:x甲=(9.8+9.9+10.1+10+10.2)÷5=10,s=×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02;x乙=(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)÷5=10,s=×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244,所以甲、乙两位
选手中成绩比较稳定的选手的方差为0.02.
考向❸ 标准差
例3 在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1) 求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;
(2) 从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学的成绩在区间(68,75)上的概率.
解析:(1) 因为这6位同学的平均成绩为75分,
所以×(70+76+72+70+72+x6)=75,
解得x6=90.
这6位同学成绩的方差:
s2=×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,
所以标准差s=7.
(2) 从前5位同学中,随机地选取2位同学的成绩有:(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10种,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有: (70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4种,所以所求的概率为=0.4,即恰有1位同学的成绩在区间(68,75)上的概率为0.4.
自测反馈
1. 样本数据 8,6,6,5,10 的方差s2= 3.2 .
解析:x=(8+6+6+5+10)÷5=7,s2=×[(8-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(10-7)2]=3.2.
2. 若数据2,x,2,2的方差为0,则x= 2 .
解析:设数据的平均数为x,则×[3(2-x)2+(x-x)2]=0,解得x=x=2,故x的值为2.
3. 若一组样本2 015,2 017,x,2 018,2 016的平均数是2 017,则该组样本数据的方差是 2 .
解析:由题意得×(2 015+2 017+x+2 018+2 016)=2 017,解得x=2 019,所以样本数据的方差s2=×[(2 015-2 017)2+(2 017-2 017)2+(2 019-2 017)2+(2 018-2 017)2+(2 016-2 017)2]=2.
4. 如图,茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩,则方差较小的那组同学成绩的方差为 .
解析:x甲=×(88+92+96)=92,s=×[(92-88)2+(92-92)2+(92-96)2]=;x乙=×(90+91+95)=92,s=×[(92-90)2+(92-91)2+(92-95)2]=,所以方差较小的那组同学成绩的方差为.
1. 要能够体会用样本估计总体的方法,体会统计思维与确定性思维的不同,理解统计学的实际意义.
2. 掌握样本特征数的方法,主要是平均数、方差和标准差的公式.
3. 你还有哪些体悟,写下来: