【数学】2019届一轮复习人教A版由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题学案

专题五 数列 问题三 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题 一、考情分析 递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. ‎ 二、经验分享 ‎(1) 已知Sn，求an的步骤 当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． ‎ ‎(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面 考虑 ‎ 如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1 调节.‎ 分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系 解决.‎ 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法 解决.‎ 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法 解决.‎ ‎(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．‎ 三、知识拓展 若数列满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为b的等比数列.‎ 四、题型分析 ‎(一) 用累加法求数列的通项 ‎【例1.】在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．‎ ‎【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.‎ ‎【解析】因为,所以运用累加法即可得到 ,所以,故应填．‎ ‎【点评】当,且）满足一定条件时,可用… 求通项,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同 会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.‎ ‎【小试牛刀】数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－an,证明{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎【解析】　(1)证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2得,‎ an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2,‎ 即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1.‎ 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列．‎ ‎【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{an＋1－an}的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a1的验证．‎ ‎ (二) 利用累乘法求数列的通项 ‎【例2】设是首项为1的正项数列,且,则 .‎ ‎【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得与的关系式,再用累乘法求解.‎ ‎【点评】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于0时,数列为等比数列,；当为函数时,‎ ‎. 本题可思考为常数数列.‎ ‎【小试牛刀】【2018河南周口3月质检】数列中，前项和为， ‎ ‎(1)求数列的通项公式； = ‎ ‎(2)令，证明 .‎ ‎【解析】(1) ， ，‎ 两式相减得 ，‎ 整理得 ，‎ ‎（叠乘法）因为，‎ 所以， ，…， ，‎ 相乘得，且当=1、2时，满足此式，‎ 所以.‎ ‎ (2) ‎ ‎，‎ 因为 ，所以；‎ ‎.‎ ‎(三) 用构造法求数列的通项 ‎【例3】【江苏省泰州中 2018届高三12月月考2】已知数列满足 ， ，（ ），则数列的通项公式为__________．‎ ‎【分析】变形为,构造新数列求解.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ，变形得 ，所以是以2为公比的等比数列，所以 ，所以.‎ ‎【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出 ‎.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.‎ ‎【小试牛刀】已知数列满足,,,,则 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】且,,又,,是首项为,公差为的等差数列,,,．故应填．‎ ‎(四) 利用与的关系求数列的通项 ‎【例4】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】已知数列的前项和为,．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设,数列的前项和为,证明 ．　‎ ‎【分析】（1）已知和与项的关系,要求通项公式,可在已知（）基础上,用代（）,得,两式相减得（）的递推式,求得,注意的值与的表达式的关系；（2）由（1）是分段函数形式,时,,考虑到证明和,因此可放缩以求和,从而得,可证得不等式．‎ ‎【解析】（1）当时,,解得；‎ 当时,,解得．‎ 当时,,,‎ 以上两式相减,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎（2）．‎ 当时,,‎ ‎∴． ]‎ ‎【点评】由Sn和an的关系求通项的注意问题 (1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时,a1不适合an的情况要分开写,即an＝ ‎(2)要注意an和Sn互化具有双向性,既可由an化为Sn,也可由Sn求an.‎ ‎【小试牛刀】【河北省唐山市2018届高三第一次模拟】已知数列为单调递增数列，为其前项和，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，为数列的前项和，证明 .‎ ‎【解析】（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，‎ 又{an}为单调递增数列，所以an≥1． ‎ 由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，‎ 整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．‎ 所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，‎ 所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n． ‎ ‎（Ⅱ）bn＝＝＝－ ‎ 所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]‎ ‎＝－＜．‎ ‎ (五) 递推公式为（其中,均为常数）.‎ 解法一（待定系数——迭加法） ‎ ‎【例5.】数列 , ,求数列的通项公式.‎ ‎【分析一】解法一(待定系数法) 先把原递推公式转化为其中s,t满足.‎ ‎【解法一】（待定系数——迭加法） ‎ 由,得 ‎,‎ 且.‎ 则数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ 于是.‎ 把代入,得 ‎,,,,.‎ 把以上各式相加,得.‎ ‎.‎ ‎【解法二】（特征根法） 数列 , 的特征方程是 .,.‎ 又由,于是 故.‎ ‎【小试牛刀】【新疆兵团农二师华山中 2017届高三上 期 前考试】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．‎ ‎（I）证明 {an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的 取值范围． ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）因为,‎ ‎ ‎ 所以, ‎ 依题意得 ‎ 五、迁移运用 ‎1.【福建省福州市2018届高三上 期期末质检】1．【2017 年辽宁东北育才 校段考】设各项均为正数的数列 的前项和为 ,且满足．则数列的通项公式是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎2.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知数列满足,则______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴．∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列,‎ ‎∴,∴．则．故答案为 ．‎ ‎3．【2017河北故城县高级中 上期中】若数列满足,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】为等差数列,,‎ ‎,,.‎ ‎4．【2017届黑龙江双鸭山一中高三上 期质检】数列满足,对任意的都有,则（ ）[ | | |X|X| ]‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎5.【2017河南西平县高级中 十月月考】已知数列满足,则的通项公式是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为数列满足,所以当时,‎ ‎,整理得,当时,,解得,上式也成立,所以数列的通项公式为.‎ ‎6.【江西省新余市第一中 2017届高三上 期调研考试】 数列满足,记,则数列的前项和 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,且,所以数列构成以1为首项,2为公差的等差数列,所以,从而得到,则,‎ 所以,,‎ 两式相减,得 所以.‎ ‎7．【2017四川省成都七中实验 校下期中】数列满足 ,且对任意的 都有 ,则 ．‎ ‎【答案】5050‎ ‎【解析】 令 ,则；‎ ‎ [ , , ]‎ ‎8．【福建省莆田市2018届高三下 期教 质量检测】已知数列满足，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，同时除以可得.‎ 即是以为首项，为公差的等差数列.‎ 所以，即.‎ 故答案为 .‎ ‎9．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研】已知数列的前项和为，且,（），若,‎ 则数列的前项和_______________.‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】由可知，两式相减得，因为，所以， ，构造 ，所以=1， 数列是以1为公差，1为首项的等差数列，所以， ‎ 当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，综上所述 ,故填或.‎ ‎10．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测】在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为，则 ________.‎ ‎【解析】因为，且对任意，成等差数列，其公差为，所以当 时,可得 ‎，‎ 当时，,所以,故答案为.‎ ‎11．【黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中 2018届高三上 期第一次月考（】已知数列中， 且，则__________．‎ ‎【答案】[ ]‎ ‎【解析】‎ ‎12．【2017届云南省师范大 附属中 高三高考适应性月考】已知数列满足，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎13.【2017届山东肥城市高三上 期升级统测】设数列的前和为,已知.‎ ‎（1）求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前和为.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意得,当时,由,得.‎ ‎（2）设.当时,由于,故.‎ 可知,当时,‎ 当时,,不适合式.‎ 当时,,适合式.‎ 所以.‎ ‎14.【江苏省泰州中 2017届高三摸底考试】已知数列的前项和满足 （为常数,且,）．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设,若数列为等比数列,求的值；‎ ‎（3）在满足条件（2）的情形下,设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）当时,,得．‎ 当时,由,即,①‎ 得,②‎ ‎①②,得,即,∴（）,‎ ‎∴是等比数列,且公比是,∴．‎ ‎（2）由（1）知,,即,‎ 若数列为等比数列,则有,‎ 而,,,‎ 故,解得,‎ 再将代入,得,‎ 由,知为等比数列,∴．‎ ‎（3）由,知,∴,‎ ‎∴,‎ 由不等式恒成立,得恒成立,‎ 设,由,‎ ‎∴当时,,当时,,‎ 而,,∴,‎ ‎∴,∴．‎ ‎15.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中 、晋城一中2017届高三第一次联考】已知数列的前项和,其中.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）若,求的前项和.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】（I）当时,,解得 ‎ 当时, ‎ 化简整理得 ‎ 因此,数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ 从而, ‎ ‎（II）由（I）可得,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】已知数列的各项都不为零,其前项为,且满足 ．[ _ _ ]‎ ‎（1）若,求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在满足题意的无穷数列,使得？若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎（2）根据（1）,可得或,‎ ‎∴从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为的数列满足题意,使得（其他符合的答案类似给分）．‎ ‎17.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知是公差为3的等差数列，数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）由已知且，得，‎ ‎∴是首项为4，公差为3的等差数列，‎ ‎∴通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，得 ，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．‎ ‎18．【河南省南阳市2018届高三上 期期末】已知数列的前项和为，且满足（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）当时，，解得．‎ 当时，，，‎ 两式相减得，化简得，‎ 所以数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，‎ 可得．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当为偶数时，，；‎ 当为奇数时，为偶数，．‎ 所以数列的前项和．‎