高考文科数学复习：夯基提能作业本 (43)

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第五节　变量的相关关系、统计案例 A组　基础题组 ‎1.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,回归直线l的方程为y‎^‎=b‎^‎x+a‎^‎,则下列说法正确的是(　　)‎ A.a‎^‎>0,b‎^‎<0 B.a‎^‎>0,b‎^‎>0 ‎ C.a‎^‎<0,b‎^‎<0 D.a‎^‎<0,b‎^‎>0‎ ‎2.(2016辽宁沈阳二中一模)某考察团对全国10大城市居民人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)进行统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为y‎^‎=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)‎ A.83% B.72% C.67% D.66%‎ ‎3.(2016江西南昌十所省重点中学二模)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表所示,根据表中数据可得回归方程y‎^‎=b‎^‎x+a‎^‎中的b‎^‎=10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为(　　)‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎58‎ A.112.1万元 B.113.1万元 C.111.9万元 D.113.9万元 ‎4.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,通过随机询问某市100名性别不同的居民是否能做到“光盘”,得到如下列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 附:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ 则下面的结论正确的是(　　)‎ A.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎5.(2016湖北优质高中联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得回归直线方程y‎^‎=b‎^‎x+a‎^‎中的b‎^‎=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量为　　　　. ‎ ‎6.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:y‎^‎=0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加　　　　万元. ‎ ‎7.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:‎ 时间x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率y ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 小李这5天的平均投篮命中率为　　　　;用线性回归分析的方法,可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为　　　　. ‎ ‎8.已知某班n名同学的数学测试成绩(单位:分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)规定60分以下为不及格,若不及格的人中女生有4人,而及格的人中,男生比女生少4人,借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”?‎ 附:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ ‎9.(2015课标Ⅰ,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ x y w ‎∑‎i=1‎‎8‎‎(xi-x)2‎ ‎∑‎i=1‎‎8‎‎(wi-w)2‎ ‎∑‎i=1‎‎8‎‎(xi-x)(yi-y)‎ ‎∑‎i=1‎‎8‎‎(wi-w)(yi-y)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi=xi,w=‎1‎‎8‎‎∑‎i=1‎‎8‎wi.‎ ‎(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β‎^‎‎=‎∑‎i=1‎n‎(ui-u)(vi-v)‎‎∑‎i=1‎n‎(ui-‎u‎)‎‎2‎,α‎^‎=v-β‎^‎ u.‎ B组　提升题组 ‎10.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=‎1‎‎2‎x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　)‎ A.-1 B.0 C.‎1‎‎2‎ D.1‎ ‎11.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y‎^‎=0.85x-85.71,则下列结论中不正确‎···‎的是(　　)‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x,y)‎ C.若该大学某女生的身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生的身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg ‎12.某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/吨)的线性回归方程为y‎^‎=105.492+42.569x.当成本控制在176.5元/吨时,可以预计生产的1 000吨钢中,约有　　　　吨钢是废品. ‎ ‎13.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.‎ 附:K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎14.(2014课标Ⅱ,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:‎ b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎n‎(ti-t)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎n‎(ti-‎t‎)‎‎2‎,a‎^‎=y-b‎^‎t.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　由题图可知,回归直线的斜率是正数,即b‎^‎>0;回归直线在y轴上的截距是负数,即a‎^‎<0,故选D.‎ ‎2.A　由7.675=0.66x+1.562,得x≈9.262,‎ 所以‎7.675‎‎9.262‎×100%≈83%.故选A.‎ ‎3.C　由题表中数据得x=3.5,y=43.由于回归直线y‎^‎=b‎^‎x+a‎^‎过点(x,y),且b‎^‎=10.6,解得a‎^‎=5.9,‎ 所以线性回归方程为y‎^‎=10.6x+5.9,于是当x=10时,y‎^‎=111.9.‎ ‎4.A　K2=‎100×(675-300‎‎)‎‎2‎‎55×45×75×25‎≈3.030.因为2.706<3.030<3.841,所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.‎ ‎5.答案　68度 解析　根据题意知x=‎18+13+10+(-1)‎‎4‎=10,y=‎24+34+38+64‎‎4‎=40,因为回归直线过样本点的中心,所以a‎^‎=40-(-2)×10=60,所以y‎^‎=-2x+60,当x=-4时,y‎^‎=(-2)×(-4)+60=68,所以用电量为68度.‎ ‎6.答案　0.254‎ 解析　由题意知回归直线的斜率为0.254,故家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加0.254万元.‎ ‎7.答案　0.5;0.53‎ 解析　这5天的平均投篮命中率=‎1‎‎5‎×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5.利用相关公式计算易得b‎^‎=0.01,a‎^‎=0.47,∴线性回归方程为y‎^‎=0.01x+0.47,当x=6时,y‎^‎=0.01×6+0.47=0.53.‎ ‎8.解析　(1)依题意得 ‎10(0.035+0.025+c+2b+a)=1,‎‎2b=a+c‎⇒b=0.01,‎ 因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n=‎6‎‎0.01×10‎=60.‎ ‎(2)由于2b=a+c,而b=0.01,可得a+c=0.02,‎ 则不及格的人数为0.02×10×60=12,及格的人数为60-12=48,‎ 于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下:‎ 及格 不及格 合计 男 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎26‎ ‎4‎ ‎30‎ 合计 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 结合列联表计算可得K2=‎60×(22×4-26×8‎‎)‎‎2‎‎48×12×30×30‎≈1.667<2.706,‎ 故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”.‎ ‎9.解析　(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.‎ ‎(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.‎ 由于d‎^‎=‎∑‎i=1‎‎8‎‎(wi-w)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎8‎‎(wi-‎w‎)‎‎2‎=‎108.8‎‎1.6‎=68,‎ c‎^‎‎=y-d‎^‎ w=563-68×6.8=100.6,‎ 所以y关于w的线性回归方程为y‎^‎=100.6+68w,‎ 因此y关于x的回归方程为y‎^‎=100.6+68x.‎ ‎(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值 y‎^‎‎=100.6+68‎49‎=576.6,年利润z的预报值z‎^‎=576.6×0.2-49=66.32.‎ ‎(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值 z‎^‎‎=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.‎ 所以当x=‎13.6‎‎2‎=6.8,即x=46.24时,z‎^‎取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.‎ B组　提升题组 ‎10.D　所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上,则样本相关系数最大,为1,故选D.‎ ‎11.D　∵0.85>0,∴y与x具有正的线性相关关系,∴A正确;‎ ‎∵回归直线经过样本点的中心(x,y),∴B正确;‎ Δy=0.85(x+1)-85.71-(0.85x-85.71)=0.85,∴C正确;当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58.79 kg,因此D不正确.故选D.‎ ‎12.答案　16.68‎ 解析　由176.5=105.492+42.569x,解得x≈1.668,即当成本控制在176.5元/吨时,废品率约为1.668%,所以生产的1 000吨钢中,约有1 000×1.668%=16.68吨钢是废品.‎ ‎13.解析　(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.‎ 所以,在样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.‎ 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).‎ 其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=‎7‎‎10‎.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以K2=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ ‎=‎100×(15×25-15×45‎‎)‎‎2‎‎60×40×30×70‎=‎25‎‎14‎≈1.79.‎ 因为1.79<2.706,‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.‎ ‎14.解析　(1)由所给数据计算得 t‎=‎1‎‎7‎×(1+2+3+4+5+6+7)=4,‎ y‎=‎1‎‎7‎×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,‎ b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-‎t‎)‎‎2‎=‎14‎‎28‎=0.5,‎ a‎^‎‎=y-b‎^‎t=4.3-0.5×4=2.3,‎ 所求回归方程为y‎^‎=0.5t+2.3.‎ ‎(2)由(1)知,b‎^‎=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.‎ 将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y‎^‎=0.5×9+2.3=6.8,‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.‎