数学理卷·2017届甘肃省兰州市高考实战模拟考试（2017

数学理卷·2017届甘肃省兰州市高考实战模拟考试（2017

兰州市2017年高考实战模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足，则的实部为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3.设向量，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.若等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）‎ A． 2014 B．2015 C. 2016 D．2017‎ ‎6.已知，，的坐标满足，则面积的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）‎ A．种 B．种 C. 种 D．种 ‎8.某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎①该几何体的体积为；‎ ‎②该几何体为正三棱锥；‎ ‎③该几何体的表面积为；‎ ‎④该几何体外接球的表面积为.‎ A．①②③ B．①②④ C. ①③④ D．②③④‎ ‎9.若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）‎ A． 4 B． C. 2 D．‎ ‎10.已知长方体中，，与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，与双曲线相交于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎12.已知，定义运算“”： ，函数，，若方程只有两个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，，则 ．‎ ‎14.观察下列式子：1，，，，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于，则 ．‎ ‎15.已知函数：①；②；③；④.其中，最小正周期为且图象关于直线对称的函数序号是 ．‎ ‎16.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，的对边分别为，若.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）如果，求面积的最大值.‎ ‎18. 现如今，“购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.‎ ‎（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；‎ ‎（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量，求的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.‎ ‎19. 如图所示的空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点；过点与直线平行的直线为，与曲线相交于两点.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D ‎ C C D B D A A B 二、填空题 ‎13. 14. 15. ② 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）∵，即 ‎∴ 又∵ ∴‎ 由于为三角形内角，故 ‎ ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理得，所以 ‎∵ ∴，当且仅当时等号成立 ‎∴的面积 ‎∴面积的最大值为 ‎ ‎18. 解：（Ⅰ） 根据题中条件可得关于商品和服务的列联表：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 因此，有%的把握认为“商品好评与服务好评”有关. ‎ ‎（Ⅱ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 的所有可能的取值为，则～，‎ 所以，，，‎ ‎，，‎ 分布列为：‎ 由于～，‎ 所以， ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）证明：连接交于点，则 设，的中点分别为，，连接，则∥，‎ 连接，，则∥且，所以∥，所以∥‎ 由于平面，所以 ‎ 所以，，所以平面 所以平面平面 ‎ ‎（Ⅱ）解法一：∵∥，∴∥‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角 连接，∵平面， ∴‎ ‎∴为平面与平面所成二面角的一个平面角 ‎∵， ∴‎ ‎∴ ‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 解法二：建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，‎ 依题意为平面的一个法向量，‎ 设为平面的一个法向量，则 即令，‎ 则，所以 设平面与平面所成的锐二面角为，则 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ‎20. 解：（Ⅰ） 设椭圆的方程为 ‎∵椭圆的左焦点为， ∴．‎ ‎∵点在椭圆上， ∴． ‎ 解得，，．所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）依题意点的坐标为，设（不妨设），则 由得 所以直线 的方程为 直线 的方程为 所以，‎ 所以，‎ 设的中点为，则点的坐标为，则以为直径的圆的方程为 ‎，即 令得或，‎ 即以为直径的圆经过两定点， ‎ ‎21. 解：（Ⅰ），‎ 所以且， 解得， ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）与题意知对任意的恒成立， ‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 所以函数为上的增函数.‎ 因为，‎ 所以函数在上有唯一零点，即有成立，‎ 所以 ‎ 故当时，，即；当时，，即 ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以 所以，因为，所以，又因 所以最大值为 ‎ ‎22. 解：（Ⅰ）因为，且，所以，即 所以直线的极坐标方程为 所以 即直线的直角坐标方程为 设曲线上的点到直线距离为，则 所以曲线上的点到直线距离的最小值为 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设的方程为，由于过点，所以，所以的方程为 故的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为 所以，即有 所以 所以 ‎ ‎23.解：（Ⅰ）当时，不等式为 即或或 解得：或 所以所求不等式的解集为 ……………5分 ‎（Ⅱ）函数存在零点等价为关于的方程 有解 因为 所以，即 解得 所以实数的取值范围是 ‎