2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练45　空间向量及其运算

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练45　空间向量及其运算

课时分层训练(四十五)　空间向量及其运算 ‎(对应学生用书第287页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．垂直　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 B　[由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，‎ ‎∴＝－3，‎ ‎∴与共线，‎ 又与没有公共点．‎ ‎∴AB∥CD.]‎ ‎2．(2017·上饶期中)如图766，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)‎ 图766‎ A.(－a＋b＋c)‎ B.(a＋b－c)‎ C.(a－b＋c)‎ D.(－a－b＋c)‎ B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．]‎ ‎3．(2017·武汉三中月考)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　)‎ A．(3,0,0) B．(0,3,0)‎ C．(0,0,3) D．(0,0，－3)‎ C　[设P(0,0，z)，‎ 则有 ‎＝，‎ 解得z＝3.故选C.]‎ ‎4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) ‎ ‎【导学号：79140246】‎ A. B． C. D． D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，‎ ‎∴b＝(1,1,2)．‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎∴a与b的夹角为，故选D.]‎ ‎5．如图767，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ 图767‎ A. B． C．1 D． D　[∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.‎ ‎－9　[由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ 所以解得λ＝－9.]‎ ‎7．如图768，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 图768‎ ‎－　[＝－＝－ ‎＝(－)－(＋)‎ ‎＝－＋－(＋)‎ ‎＝－－＋，‎ 所以x＋y＋z＝－－＋＝－.]‎ ‎8．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.‎ ‎(3，－2,2)　[因为a∥b，所以＝＝，‎ 解得x＝2，y＝－4，‎ 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，‎ 又因为b⊥c，所以b·c＝0，‎ 即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. ‎ ‎【导学号：79140247】‎ ‎[解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)‎ ‎＝(－2，－1,2)，‎ ‎∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，‎ ‎∴|c|＝＝3|m|＝3，‎ ‎∴m＝±1.‎ ‎∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．‎ ‎(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.‎ 又∵|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.‎ ‎10．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．‎ ‎(1)求|2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ ‎[解]　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)令＝t(t∈R)，‎ 所以＝＋＝＋t ‎＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)‎ ‎＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，‎ 若⊥b，则·b＝0，‎ 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.‎ B组　能力提升 ‎11．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C　[∵M为BC中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝·＋·＝0.‎ ‎∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]‎ ‎12．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________. ‎ ‎【导学号：79140248】‎ 平行　[如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.‎ 因此＝＋，‎ ‎∴，，共面．‎ 又∵VA平面PMN，∴VA∥平面PMN.]‎ ‎13.如图769，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．‎ 图769‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎