2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∪Q＝R ‎【答案】A ‎【解析】 ,所以P⊆Q, 选 A.‎ ‎2．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先应用三角函数的诱导公式，根据，求得，再利用诱导公式，将转化为，最后应用余弦的倍角公式从而求得结果.‎ 详解： ，‎ 故选择C．‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，所涉及的知识点有诱导公式和余弦的倍角公式，在解题的过程中，需要时刻保证相应的公式的正确性，最后算出结果即可.‎ ‎3．已知角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知结合三角函数定义，求出，再用两角和正弦公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 角的终边经过点，则，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，以及两角和的正弦求值，属于基础题.‎ ‎4．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴−=3(−)；‎ ‎∴=−.‎ 故选A.‎ ‎5．设，，实数c满足，（其中e为自然常数），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据对数函数的单调性可判断，设是的零点，根据的单调性，为函数唯一零点，判断的正负，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 设是的零点，在是增函数，‎ 为函数唯一零点，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较数的大小，考查对数函数的单调性，以及函数零点所在区间的判断，要注意与特殊数对比，属于中档题.‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（ ）‎ A．2， B．2， C．4， D．4，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像最高点与相邻最低点的横坐标，求出周期，进而求出，再由最高点（或最低点）坐标结合正弦函数用整体代换求出的值，结合其范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据图像可得周期，‎ 再由最高点的横坐标为，可得，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由图像求参数，考查三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】化为，再根据图像平移规律，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 只需将图像向右平移个单位，‎ 得到的图像.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像之间的平移关系，属于基础题.‎ ‎8．函数的大致图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得函数在x>0时>0，在x<0时<0，从而排除即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 函数在x>0时>0，排除C、D，在x<0时<0，排除B，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象的应用，注意确定函数在某区间的值域，从而利用排除法求解即可．‎ ‎9．已知函数，则（ ）‎ A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于y轴对称 ‎【答案】C ‎【解析】令，根据对勾函数性质可得函数单调区间，以及指数函数单调性，结合复合函数的单调性，可得在单调递减，单调递增，所以选项A,B错误；选项C，判断是否相等；选项D，判断与是否有相等，或先取两个互为相反数的自变量计算函数值是否相等，若不相等，则否定，若相等，再算一般情况与.‎ ‎【详解】‎ ‎，根据对勾函数的图像特征，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 在上单调递增，根据复合函数的单调性可得，‎ 当，即，函数单调递减，‎ 当，即，函数单调递增，‎ 所以选项A,B错误；‎ 由，‎ 的图像关于直线对称，选项C正确；‎ 由，的图像不关于y轴对称，‎ 选项D，错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，涉及到指数函数、对勾函数、复合函数的单调性判断，考查函数的对称性，属于中档题.‎ ‎10．函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如何去函数中的绝对值，需判断的正负，将的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而，周期为，取，对分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以周期为，取，‎ 当，‎ 其中，‎ 当时，，‎ ‎，；‎ 当，‎ 其中，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，周期为，‎ 所以的值域为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，确定周期、分类讨论去绝对值是解题的关键，属于中档题.‎ 二、多选题 ‎11．关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ）‎ A．其图象关于y轴对称；‎ B．的最小值是；‎ C．当时，是增函数；当时，是减函数；‎ D．的增区间是，；‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】可证，选项A正确；令，求出的最小值为， 可判断选项B正确；当，由对勾函数的性质可得函数单调区间，结合复合函数单调性，可判断选项C错误，运用偶函数的对称性，求出时，单调区间，可判断选项D正确.‎ ‎【详解】‎ ‎，是偶函数，选项A正确；‎ 令，在上是单调递增，‎ ‎，所以的最小值为，选项B正确；‎ 当时，，根据对勾函数可得，‎ 单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 在上是单调递增，‎ 所以在单调递减，在单调递增，选项C错误；‎ 根据偶函数的对称性，在单调递减，在单调递增，‎ 的增区间是，，选项D正确.‎ 故选:ABD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质，涉及到函数奇偶性、单调性、最值，考查对数函数和对勾函数的性质，应用复合函数的关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，给出下列结论，其中正确的是（ ）‎ A．的图象关于直线对称；‎ B．若，则；‎ C．在区间上单调递增；‎ D．的图象关于点成中心对称.‎ ‎【答案】AC ‎【解析】求出，判断，选项A正确；取特值验证当时，不成立，选项B错误；，可判断选项C正确；求出，可判断，选项D错误.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 的图象关于直线对称，选项A正确；‎ 当时，满足，‎ 而，不满足，选项B错误；‎ ‎，‎ 单调递增，选项C正确；‎ ‎，‎ 不关于点成中心对称，选项C错误.‎ 故选:AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简以及函数的性质，解题的关键要掌握对称关系的代数表示，考查化归转化数学思想，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎13．已知平面向量，，若与平行，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的坐标表示，涉及到平面向量的线性运算、共线向量的坐标关系，属于基础题.‎ ‎14．已知函数，若，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据已知与所求的自变量关系，考虑利用奇偶性求函数值，但不具有奇偶性，可以考查局部奇偶性，令，则，可证是奇函数，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ ‎,‎ 是奇函数，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数求值，实际是考查函数的性质应用，解题的关键要把问题化归为函数的奇偶性，属于中档题.‎ ‎15．函数的单调递减区间为________；值域是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】令，根据复合函数单调性原则，只需求出的单调递增区间即可，求出的值域，利用单调性，即可求出值域.‎ ‎【详解】‎ 在实数上是单调递减，‎ 在上单调递增，‎ 在上单调递减，根据复合函数的单调性，‎ 函数的单调递减区间是，‎ ‎，‎ 的值域为.‎ 故答案为：（1）；（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数的性质，运用换元方法，转化为复合函数的单调性，注意指数型函数值大于零不要遗漏，属于中档题.‎ ‎16．已知平面向量与的夹角为，且，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用模长关系有，按向量数量积的运算即可求解，然后开方，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的模长，考查向量的数量积，属于基础题.‎ ‎17．已知函数，若，则a的值是________.‎ ‎【答案】-1或2‎ ‎【解析】根据函数值的正负，由，可得，求出，再对分类讨论，代入解析式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ ‎，‎ 当，‎ 当，‎ 所以或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎18．已知函数有零点，且的零点都是函数的零点；反之，的零点都是的零点.则实数b的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由的零点是函数的零点，可得，设的零点零点为，可得或者，而也为的零点，得出或无解，即可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 若为的零点，则，也是的零点， ‎ ‎，或，‎ 设设的零点，则有或，‎ 而是的零点，或无解，‎ 即没有实数解，‎ 综上实数b的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点，考查二次函数根的判别式，考查分析问题，解决问题能力，属于较难题.‎ 四、解答题 ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（2）用二倍角公式和辅助角公式化简可得，整体替换正弦函数的递增区间，即可求解；‎ ‎（2）由，求出范围，结合正弦函数图像，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题设 由，‎ 解得，‎ 故函数的单调递增区间为 ‎（2）由，可得 ‎∴‎ 于是.‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换化简三角函数，考查三角函数的性质，解题的关键应用整体思想转化为考查正弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎20．已知向量，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由已知结合向量垂直数量积关系，求出，把所求的式子“1”用替换，化为齐次分式，进而化为，即可求解；‎ ‎（2）求出，要使函数上单调递增，对称轴不在区间之间，求出范围，结合范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，∴，即，‎ ‎∴原式；‎ ‎（2）∵‎ 在上单调递增，‎ ‎∴，即；‎ 又，∴‎ ‎【点睛】‎ 本题以向量为背景，考查三角函数求值以及三角不等式的求解，解题的关键是化齐次分式、化弦为切，也考查二次函数的性质，属于基础题.‎ ‎21．某自来水厂的蓄水池有吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，其中．‎ ‎（Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？‎ ‎（Ⅱ）若蓄水池中水量少于吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？‎ ‎【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）8‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）函数应用题，关键在于正确理解题意：存水量为蓄水池原有水量加上注水量，减去供水量，即存水量，这是一个二次函数，求其最值，需明确定义域与对称轴之间关系：因为，所以当时，，（Ⅱ）先由题意得：y≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象．‎ 试题解析：（Ⅰ））设供水小时，水池中存水吨．则 当时，，‎ 故从供水开始到第小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为吨．‎ ‎（Ⅱ）令x；则x2＝6t，即y＝400+10x2﹣120x；‎ 依题意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0,‎ 解得，4＜x＜8，即，；‎ 即由，所以每天约有8小时供水紧张． ‎ 答：一天小时内大约有小时出现供水紧张．‎ ‎【考点】函数应用题 ‎【名师点睛】‎ 解函数应用问题的步骤 ‎（1）审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握．因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．‎ ‎（2）建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式（也叫目标函数），将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．‎ ‎（3）解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型或目标函数）予以解答，求得结果．‎ ‎（4）还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．‎ ‎22．已知函数，，.‎ ‎（1）当时，若在区间上单调递减，求a的取值范围；‎ ‎（2）求满足下列条件的所有实数对：当a是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】（1），对开口方向，结合对称轴与区间的关系，得出关于的不等式，即可求解；‎ ‎（2）根据已知可得，取得最小值，分析具有最大值的条件，求出 的取值范围，进而得出是开口向下的抛物线，求出最大值时的且等于，得出关系，利用范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，‎ 若，，‎ 则在上单调递减，符合题意.‎ 若，则或，∴或，‎ 综上，‎ ‎（2）若，，‎ 则无最大值，故，∴为二次函数，‎ 要使有最大值，必须满足，‎ 即且，‎ 此时，时，有最大值.‎ 又取最小值时，，‎ 依题意，有，‎ 则，‎ ‎∵且，∴，‎ 得，此时或.‎ ‎∴满足条件的实数对是，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质，涉及到二次函数的单调性、最值，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.‎