高中数学：数学精英解_“不等式”题

高中数学：数学精英解_“不等式”题

‎9.（湖北卷第21题）已知m，n为正整数.‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；‎ ‎（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；‎ ‎（Ⅲ）求出满足等式3n+‎4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.‎ ‎【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.‎ 本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？‎ 解题实践证明：这个猜想是对的.‎ 解答：（Ⅰ）略 ‎（Ⅱ）∵且知令则.‎ ‎∴，即（注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）‎ 根据（Ⅰ），.‎ 但时，仍有，.‎ ‎（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）‎ ‎（Ⅲ）当时，直接验算：‎ 显然n=2符合条件：‎ n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.‎ n=4时，左边=，而右边=.‎ 注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.‎ n=5时，左边=，而右边=.‎ 注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.‎ 故当时，n=2或3.‎ ‎（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）‎ 当n≥6时，假定存在使得成立，则有：‎ 但是：‎ ‎=.‎ 根据（Ⅱ），右式 ‎（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+‎4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.‎ ‎（注：当时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）‎ 综上，适合该等式的所有正整数只有2与3. ‎