2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省三明市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1．命题“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题“， ”的否定是， ,故选B.‎ 点睛: (1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.‎ ‎2．利用秦九昭算法求多项式在时的值时，下列说法正确的是（ ）‎ A. 先求 B. ‎ C. 先求 D. 直接求解 ‎【答案】B ‎【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成以下形式: ,则,故选B.‎ ‎3．与命题“若，则”等价的命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意得，互为逆否的两个命题为等价命题，所以命题命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以是等价命题，故选D．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎4．已知两定点， ，动点满足，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 线段 D. 射线 ‎【答案】C ‎【解析】动点满足,则动点的轨迹是,即线段AB,故选C.‎ ‎5．设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，均为直线,在平面内，所以，时，且；反之，且，不一定有，因为，不一定是相交直线，故选A.‎ ‎【考点】1.立体几何的垂直关系;2.充要条件的概念.‎ ‎6．椭圆的焦距是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆的标准方程为,,则焦距2c=2,故选A.‎ ‎7．已知一组数据， ， ， ， 的平均数为，且， 是方程的两根，则这组数据的方差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程的两根为x=3或x=1,又这组数据的其它值都大于1,故m=1,n=3,则,故选C.‎ ‎8．古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）‎ A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.‎ ‎【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.‎ ‎9．在面积为的的边上任取一点，则的面积大于的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设事件A={ 的面积大于},基本事件是线段AB的长度,如图所示,因为的面积大于,则有, ,则由三角形的相似得 ‎, 事件A的几何度量为线段AP的长度,故的面积大于的概率是,故选C.‎ 点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎10．设圆的圆心为， 是圆内一定点， 为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆心,半径为5,设点, 的垂直平分线交于,又,由椭圆的定义可得点M是以A,C为焦点的椭圆,且,故椭圆方程为,故选D.‎ 点睛: 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)；(4)参数法．‎ ‎11．已知椭圆的两焦点分别为，，一短轴的端点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：解：设点P在x轴上方，坐标为()，∵为等腰直角三角形,∴|PF2|=|F1F2|，,故选D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质 点评:本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系 ‎12．已知两点， ，给出下列曲线：①；②；③；④；⑤，在所给的曲线上存在点满足的曲线方程有（ ）‎ A. ②③④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①④⑤‎ ‎【答案】C ‎【解析】两点， ，点满足,则点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆, ,,即椭圆方程为;又曲线①③⑤与该椭圆相交,曲线④与椭圆无交点,故选C.‎ 二、填空题 ‎13．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据伪代码所示的顺序,程序中各变量的值如下:‎ 循环前:n=5,s=0;‎ 第一次循环:s=5,n=4;‎ 第二次循环:s=9,n=3;‎ 输出此时的n值为3,故填3.‎ ‎14．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，‎ 代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，‎ ‎∴，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系 ‎15．某学生每次投篮的命中概率都为．现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】这20组随机数中, 该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为,故填.‎ ‎16．有下列四种说法：‎ ‎①， 均成立；②若是假命题，则， 都是假命题；③命题“若，则”的逆否命题是真命题；④“ ”是“直线与直线互相垂直”的充分条件．‎ 其中正确的命题有__________．‎ ‎【答案】1,3,4‎ ‎【解析】对于①, 恒成立,命题正确;‎ 对于②, 若是假命题，则， 中至少有一个是假命题,命题错误;‎ 对于③, 若，则正确,则它的逆否命题也正确;‎ 对于④,当时, 直线与直线互相垂直,命题正确;‎ 故填①③④.‎ 三、解答题 ‎17．已知： ， ： （）．‎ ‎（1）若， 为假， 为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析:(1)先解二次不等式得出命题p中x的取值范围,将m=5代入,得到命题q中x的范围, 为假， 为真，即命题、中一真一假，分类讨论真假和假真两种情况,求出x的取值范围;(2) 是的充分条件即命题中x的取值范围构成的集合P是命题中x的取值范围构成的集合Q的子集,根据集合间的关系列出不等式,求出m的取值范围.‎ 试题解析:‎ 解不等式，得．‎ ‎（1）∵，∴命题： ，‎ 又命题、中一真一假，‎ ‎①若真假，则解得；‎ ‎②若假真，则解得．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎（2）令， ，‎ ‎∵是的充分条件，‎ ‎∴，‎ ‎∴解得 ‎∴，即实数的取值范围是．‎ ‎18．某举重运动队为了解队员的体重分布情况，从50名队员中抽取10名作调查．抽取时现将全体队员随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，每组抽一名，且各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．‎ ‎（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽取出来的编号；‎ ‎（2）分别统计被抽取的10名队员的体重（单位：公斤），获得如图所示的体重数据的茎叶图，根据茎叶图求该样本的平均数和中位数；‎ ‎（3）在题（2）的茎叶图中，从题中不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，求体重为81公斤的队员被抽到的概率．‎ ‎【答案】（1）2,7,12,17,22,27,32,37,42,47；（2）平均数为71，中位数为71.5；（3）．‎ ‎【解析】试题分析:(1) 各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样,且第5组抽出的号码为22，可得抽出的10名职工号码;(2) 被抽取的10名队员的体重求和再除以10可得平均数,再由定义计算中位数;(3)写出从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的队员的取法,进而可得体重为81公斤的队员的取法,根据古典概型计算公式计算即可.‎ 试题解析:‎ ‎（1）依题意若第5组抽出的号码为22，则所有被抽出的队员编号为：‎ ‎2,7,12,17,22,27,32,37,42,47‎ ‎（2）由茎叶图数据可求得该样本的平均数为：‎ ‎（公斤），‎ 中位数为（公斤）．‎ ‎（3）设“体重为81公斤的队员被抽到”为事件，‎ 若从体重不轻于73公斤的队员中随机抽取2名队员的体重数据，所有可能的情况如下：‎ ‎， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种，且每种被抽到的可能性相同，又体重为81公斤的队员被抽到的情况有： ， ， ， 共4种，所以由古典概型的概率公式有．‎ 答：体重为81公斤的队员被抽到的概率为．‎ 点睛:本题考查茎叶图与古典概型. 古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量在， ， 的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）0.0075；（2）224；（3）5．‎ ‎【解析】试题分析:(1)由频率和为1,计算图中x的值;(2)根据频率分布直方图观察,最高矩形的中点横坐标即为众数,令矩形面积和为,所取得的横坐标为中位数;(3)分别计算出月平均用电量在， ， 的三组用户的数量,根据分层抽样的定义计算出抽取比例,得出月平均用电量在的用户中应抽取的户数.‎ 试题解析:‎ ‎（1）由直方图的性质，可得， ，所以直方图中的值是．‎ ‎（2）月平均用电量的众数是．　‎ 因为，‎ 所以月平均用电量的中位数在内，‎ 设中位数为，由，得，‎ 所以月平均用电量的中位数是224．‎ ‎（3）月平均用电量为的用户有户，‎ 月平均用电量为的用户有户，‎ 月平均用电量为的用户有户，‎ 抽取比例，‎ 所以月平均用电量在的用户中应抽取户．‎ ‎20．已知椭圆的两焦点为， ， 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若已知直线，当为何值时，直线与椭圆有公共点？‎ ‎（3）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）7．‎ ‎【解析】试题分析:(1)由焦点坐标得到c,由椭圆的定义求出a,进而求出b的值,即可得出椭圆的方程;(2)联立直线与椭圆方程,消去y, 直线与椭圆有公共点即所得一元二次方程有解,计算得出m的范围;(3) 中， ，由勾股定理有,结合椭圆的定义代入化简可得,根据三角形的面积公式求解即可.‎ 试题解析:‎ ‎（1）∵椭圆的焦点是和，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，‎ ‎∴设所求的椭圆方程为，‎ ‎∴依题意有， ，∴，‎ ‎∴所求的椭圆方程为．‎ ‎（2）由得，‎ 由得，则，‎ ‎∴当时，直线与椭圆有公共点．‎ ‎（3）∵点是椭圆上一点，‎ ‎∴由椭圆定义有，①‎ 又中， ，‎ ‎∴由勾股定理有，即，②‎ ‎①2 ②，得，‎ ‎∴．‎ ‎21．设关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若从， ， ， 四个数中任取的一个数， 是从， ， 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若是从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析:(1)所有基本事件为从， ， ， 四个数中任取的一个数， 是从， ， 三个数中任取的一个数;所求事件为方程有实根，即,分别列举出的组合,根据古典概型计算概率;(2)所有基本事件为从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，所求事件为方程有实根, 即,分别列出不等式画出区域,根据几何概型求出概率.‎ 试题解析:‎ 若方程有实根，则，即．‎ ‎（1）设“方程有实根”为事件，‎ ‎∵从四个数中任取的一个数， 是从三个数中任取的一个数，‎ ‎∴记为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件的有， ， ， ， ， ， ， ， 共9种，‎ ‎∴．‎ 答：方程有实根的概率为．‎ ‎（2）设“方程有实根”为事件，‎ ‎∵从区间上任取的一个数， 是从区间上任取的一个数，‎ ‎∴记为所取两数的一个组合，则， ，‎ ‎∴点所在的区域为如图所示的矩形，‎ 又条件可化为，即，‎ ‎∴满足条件的点所在的区域为如图所示的阴影部分区域 ‎∴．‎ 答：方程有实根的概率是．‎ ‎22．已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由题意知，即，又，所以，进而求出椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由，得：，由，得：，设，则，，进而得，‎ 又，代入韦达定理，可得，又，即可求出的取值范围；（3）由于两点关于轴对称，得，由两点式得直线AE的方程为，令得：，又，，再将，，代入可得直线AE与x轴交于定点．‎ 试题解析：（1）由题意知，∴，即，‎ 又，∴，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由，得：，‎ 由，得：，‎ 设，则，，①‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎（3）证明：∵两点关于x轴对称，∴，‎ 直线AE的方程为，令得：，‎ 又，，∴，‎ 由将①代入得：，∴直线与轴交于定点．‎ ‎【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎