【数学】2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业

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‎2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业 一、选择题 ‎1．下列命题中全称命题的个数为(　　)‎ ‎①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．‎ A．0　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　①②是全称命题，③是特称命题．‎ ‎2．下列命题：‎ ‎(1)至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立．‎ ‎(2)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立．‎ ‎(3)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立．‎ ‎(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．‎ 其中是全称命题的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．4个 D．0个 ‎[答案]　B ‎[解析]　(1)中的量词“至少有一个”和(4)中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．(2)、(3)中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．故选B．‎ ‎3．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1‎ C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题主要考查全称命题和特称命题真假的判断．对于选项C，当x<0时，x3<0，故C是假命题．‎ ‎4．命题“存在实数x，使x>‎1”‎的否定是(　　)‎ A．对任意实数x，都有x>1‎ B．不存在实数x，使x≤1‎ C．对任意实数x，都有x≤1‎ D．存在实数x，使x≤1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了全称、存在命题及命题的否定．‎ ‎“存在实数x，使x>‎1”‎的否定是“对任意实数x，都有x≤‎1”‎．‎ 这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则．‎ ‎5．下列四个命题中，其中为真命题的是(　　)‎ A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1‎ C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<‎0”‎为假命题；‎ 由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，‎ 所以命题“任意x∈N，x2≥‎1”‎是假命题；‎ 由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，‎ 所以命题“存在x∈Z，使x5<‎1”‎为真命题；‎ 由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝‎3”‎是假命题．故选C．‎ ‎6．命题“存在x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　)‎ A．存在x0∉∁RQ，x∈Q B．存在x0∈∁RQ，x∉Q C．任意x∉∁RQ，x3∈Q D．任意x∈∁RQ，x3∉Q ‎[答案]　D ‎[解析]　本题考查量词命题的否定改写．‎ 任意x0∈∁RQ，x∉Q，注意量词一定要改写．‎ 二、填空题 ‎7．给出下列命题：‎ ‎①任意x∈R，是无理数；‎ ‎②任意x、y∈R，若xy≠0，则x、y至少有一个不为0；‎ ‎③存在实数既能被3整除又能被19整除；‎ ‎④x>1是<1的充要条件．‎ 其中真命题为________________．‎ ‎[答案]　②③‎ ‎[解析]　①是假命题，例如是有理数；②是真命题，若xy≠0，则x，y全都不为0；③是真命题；④x>1是<1的充分不必要条件．‎ ‎8．填上适当的量词，使下列命题为真命题．‎ ‎(1)_________x∈R，使x2＋2x＋1≥0.‎ ‎(2)_________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.‎ ‎(3)__________a，b∈R，使方程组有唯一解．‎ ‎(4)__________m∈R，___________n∈R，使mn＝n.‎ ‎[答案]　(1)任意　(2)存在　(3)存在　(4)任意，存在或填存在，任意或存在，存在均可．‎ 三、解答题 ‎9．写出下列命题的否定并判断真假：‎ ‎(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；‎ ‎(2)每一个非负数的平方都是正数；‎ ‎(3)有的四边形没有外接圆；‎ ‎(4)某些梯形的对角线互相平分．‎ ‎(5)有些质数是奇数；‎ ‎(6)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎[解析]　(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋‎4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此非p是真命题．‎ ‎(2)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．‎ ‎(3)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．‎ ‎(4)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．‎ ‎(5)命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．‎ ‎(6)命题的否定为：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题．‎ ‎10．若命题“对任意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　当a＝－1时，不等式不成立；‎ 当a＝1时，原不等式恒成立．‎ 当a2－1≠0时， 所以－0成立 B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立 C．存在一条直线与两个相交平面都垂直 D．存在实数x使x2<0成立 ‎[答案]　A ‎[解析]　因为x2－3x＋6＝(x－)2＋≥，所以对于任意的x∈R，x2－3x＋6>0恒成立，因此A中的命题为真命题．‎ ‎2．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是(　　)‎ A．所有奇数的立方不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数 ‎[答案]　C ‎[解析]　全称命题的否定是特称命题．‎ ‎3．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ ‎[答案]　B ‎[解析]　cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然选项C，D为真；sinα·sinβ＝0时，选项A为真；选项B为假．故选B．‎ ‎4．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)‎ A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)‎ B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)‎ C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)‎ D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由x0＝－(a>0)及抛物线的相关性质可得C选项是错误的．‎ 二、填空题 ‎5．下列特称命题是真命题的序号是________________．‎ ‎①有些不相似的三角形面积相等；‎ ‎②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；‎ ‎③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；‎ ‎④有一个实数的倒数是它本身．‎ ‎[答案]　①③④‎ ‎[解析]　①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.‎ ‎6．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．‎ 其中是全称命题且为真命题的序号是________________．‎ ‎[答案]　④‎ ‎[解析]　①是全称命题，但为假命题；‎ ‎②不是命题；‎ ‎③是特称命题 三、解答题 ‎7．为使下列p(x)为真命题，求x的取值范围：‎ ‎(1)p(x)：x＋1>x；‎ ‎(2)p(x)：x2－5x＋6>0；‎ ‎(3)p(x)：sinx>cosx.‎ ‎[解析]　(1)∵对任意实数x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.‎ ‎(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范围是x<2或x>3.‎ ‎(3)sinx－cosx＝sin>0，‎ ‎∴2kπcosx成立的x的取值范围是，k∈Z.‎ ‎8．(1)已知关于x的不等式x2＋(‎2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对所有的x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)关于x的不等式x2＋(‎2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(‎2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即‎4a－7≥0，解得a≥，∴实数a的取值范围为.‎ ‎(2)∵对所有的x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＋1＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a＞1.‎