2019届高三数学（文）二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷（七）

2019届高三数学（文）二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷（七）

小题必刷卷(七)　平面向量、数系的扩充与复数的引入 考查范围:第24讲~第27讲 题组一　刷真题 ‎ 角度1　复数的概念、几何意义及运算 ‎1.[2017·全国卷Ⅰ] 下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.i(1+i)2 B.i2(1-i)‎ C.(1+i)2 D.i(1+i)‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= (　　)‎ A.-3 B.-2‎ C.2 D.3‎ ‎3.[2018·浙江卷] 复数‎2‎‎1-i(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)‎ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i ‎4.[2018·全国卷Ⅰ] 设z=‎1-i‎1+i+2i,则|z|= (　　)‎ A.0 B.‎‎1‎‎2‎ C.1 D.‎‎2‎ ‎5.[2018·北京卷] 在复平面内,复数‎1‎‎1-i的共轭复数对应的点位于 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎6.[2018·江苏卷] 若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为　　　　. ‎ ‎7.[2018·天津卷] i是虚数单位,复数‎6+7i‎1+2i=　　　　. ‎ 角度2　平面向量的概念、平面向量基本定理及向量 坐标运算 ‎8.[2015·全国卷Ⅱ] 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　)‎ A.-1 B.0‎ C.1 D.2‎ ‎9.[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB= (　　)‎ A.‎3‎‎4‎AB-‎‎1‎‎4‎AC B.‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC C.‎3‎‎4‎AB+‎‎1‎‎4‎AC D.‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC ‎10.[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ=　　　　. ‎ 角度3　平面向量的数量积及应用 ‎11.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量BA=‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,BC=‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎,则∠ABC= (　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ ‎12.[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (　　)‎ A.4 B.3‎ C.2 D.0‎ ‎13.[2017·全国卷Ⅱ] 设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 (　　)‎ A.a⊥b B.|a|=|b|‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ ‎14.[2018·天津卷] 在如图X7-1的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为 (　　)‎ 图X7-1‎ A.-15 B.-9‎ C.-6 D.0‎ ‎15.[2017·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　　　　. ‎ ‎16.[2017·天津卷] 在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. ‎ ‎17.[2017·北京卷] 已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为　　　　. ‎ ‎18.[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为　　　　. ‎ 题组二　刷模拟 ‎ ‎19.[2018·贵州黔东南二模] 若复数z=‎1-i‎1+i,则z= (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 B.-1 C.i D.-i ‎ ‎20.[2018·北京西城区4月模拟] 若复数(a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数a= (　　)‎ A.7 B.-7 C.1 D.-1 ‎ ‎21.[2018·河南安阳二模] 若复数z=1-i,z为z的共轭复数,则复数izz-1‎的虚部为 (　　)‎ A.i B.-i C.1 D.-1‎ ‎22.[2018·福州5月质检] 设向量a=(m,2m+1),b=(m,1),若|a-b|2=|a|2+|b|2,则实数m= (　　)‎ A.-2±‎3‎ B.-1 C.0 D.1‎ ‎23.[2018·广东东莞三模] 已知向量a与b满足|a|=‎2‎,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为 (　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎24.[2018·安徽蚌埠三模] 已知△ABC中,BE=2EC,若AB=λAE+μAC,则λ= (　　) ‎ A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎25.[2018·四川成都七中月考] 若向量AB=‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,BC=(‎3‎,1),则△ABC的面积为 (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.1 D.‎‎3‎ ‎26.[2018·济南模拟] 欧拉公式eix=cos x+i·sin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=π时,eiπ+1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,e4i表示的复数在复平面内位于 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎27.[2018·郑州三模] 在△ABC中,AD⊥AB,CD=3DB,|AD|=1,则AC·AD= (　　)‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎28.[2018·石家庄一模] 在△ABC中,点D在边AB上,且BD=‎1‎‎2‎DA,设CB=a, CA=b,则CD= (　　)‎ A.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b B.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b C.‎3‎‎5‎a+‎4‎‎5‎b D.‎4‎‎5‎a+‎3‎‎5‎b ‎29.[2018·重庆巴蜀中学月考] 在平行四边形ABCD中,∠BAD=π‎3‎,AB=2,AD=1,若M,N分别是边BC,CD的中点,则AM·AN的值是 (　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.2‎ C.3 D.‎‎15‎‎4‎ ‎30.[2018·安徽安庆二模] 若|a|=1,|b|=‎3‎且|a-2b|=‎7‎,则向量a与向量b夹角的大小是　　　　. ‎ ‎31.[2018·常州模拟] 若复数z满足z·2i=|z|2+1(其中i是虚数单位),则|z|=　　　　. ‎ ‎32.[2018·广东佛山二模] 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=2,D为BC的中点,点E在斜边AC上,若AE=2EC,则DE·AC=　　　　 . ‎ ‎33.[2018·合肥三模] 已知OA=(2,0),OB=(0,2),AC=tAB,t∈R.当|OC|最小时,t=　　　　. ‎ 小题必刷卷(七)‎ ‎1.C　[解析] 因为i(1+i)2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,所以选C.‎ ‎2.A　[解析] 因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,所以由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3.‎ ‎3.B　[解析] ‎2‎‎1-i=‎2(1+i)‎‎2‎=1+i,其共轭复数为1-i,故选B.‎ ‎4.C　[解析] z=‎(1-i‎)‎‎2‎‎(1+i)(1-i)‎+2i=‎1-2i-1‎‎2‎+2i=i,所以|z|=‎0‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=1,故选C.‎ ‎5.D　[解析] ∵‎1‎‎1-i=‎1+i‎(1-i)(1+i)‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎i,∴其共轭复数为‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎i,在复平面内对应的点位于第四象限.‎ ‎6.2　[解析] 由i·z=1+2i,得z=‎1+2ii=2-i,则z的实部为2.‎ ‎7.4-i　[解析] ‎6+7i‎1+2i=‎(6+7i)(1-2i)‎‎(1+2i)(1-2i)‎=‎20-5i‎5‎=4-i.‎ ‎8.C　[解析] 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.‎ ‎9.A　[解析] 如图,EB=AB-AE=AB-‎1‎‎2‎AD=AB-‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎(AB+AC)=‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎4‎AC ,故选A.‎ ‎10.‎1‎‎2‎　[解析] 2a+b=(4,2),由c∥(2a+b)可得‎1‎‎4‎=λ‎2‎,即λ=‎1‎‎2‎.‎ ‎11.A　[解析] cos∠ABC=BA‎·‎BC‎|BA||BC|‎=‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎+‎3‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎,∵∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.‎ ‎12.B　[解析] a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.‎ ‎13.A　[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.‎ ‎14.C　[解析] 连接MN,由BM=2MA,CN=2NA,可得MN∥BC,且BC=3MN,所以BC=3MN,所以BC·OM=3MN·OM=3(ON-OM)·OM=3(ON·OM-OM‎2‎)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C.‎ ‎15.2　[解析] ∵a⊥b,∴a·b=-2×3+3m=0,解得m=2.‎ ‎16.‎3‎‎11‎　[解析] ∵AB·AC=3×2×cos 60°=3,AD=‎1‎‎3‎AB+‎2‎‎3‎AC,∴AD·AE=‎1‎‎3‎AB+‎2‎‎3‎AC·(λAC-AB)=λ‎3‎×3+‎2λ‎3‎×4-‎1‎‎3‎×9-‎2‎‎3‎×3=-4,解得λ=‎3‎‎11‎.‎ ‎17.6　[解析] 设P(x1,y1).因为AO=(2,0),AP=(x1+2,y1),所以AO·AP=2(x1+2)=2x1+4.由题意可知-1≤x1≤1,所以2≤2x1+4≤6,故AO·AP的最大值为6.‎ ‎18.3　[解析] 因为点A 为直线l:y=2x上在第一象限内的点,所以可设A(a,2a)(a>0),则AB的中点为Ca+5‎‎2‎,a,圆C的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.由‎(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,‎y=2x,‎得D(1,2),则AB=(5-a,-‎ ‎2a),CD=‎-a-3‎‎2‎,2-a,又AB·CD=0,所以(5-a)·‎-a-3‎‎2‎+(-2a)(2-a)=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A的横坐标为3.‎ ‎19.C　[解析] z=‎1-i‎1+i=‎(1-i‎)‎‎2‎‎(1+i)(1-i)‎=‎-2i‎2‎=-i,则z=i.故选C.‎ ‎20.B　[解析] (a+i)(3+4i)=3a-4+(4a+3)i,依题意3a-4=4a+3,得a=-7.故选B.‎ ‎21.C　[解析] 因为z=1-i,所以zz=2,所以izz-1‎=i‎2-1‎=i,其虚部为1,故选C.‎ ‎22.B　[解析] |a-b|2=(m-m)2+(2m+1-1)2=4m2,|a|2=m2+(2m+1)2=5m2+4m+1,|b|2=m2+1,因为|a-b|2=|a|2+|b|2,所以4m2=5m2+4m+1+m2+1,即m2+2m+1=0,解得m=-1.故选B.‎ ‎23.C　[解析] 设向量a与b的夹角为α,由(a-b)⊥a得(a-b)·a=0,a2-a·b=0,a2-|a||b|cos α=0,2-‎2‎×2cos α=0,所以cos α=‎2‎‎2‎,所以α=π‎4‎.故选C.‎ ‎24.C　[解析] AB=AE+EB=AE+‎2‎‎3‎CB=AE+‎2‎‎3‎(AB-AC),所以‎1‎‎3‎AB=AE-‎2‎‎3‎AC,所以AB=3AE-2AC,则λ=3.故选C.‎ ‎25.A　[解析] 因为AB=‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,BC=(‎3‎,1),所以|AB|=1,|BC|=2,AB与BC夹角的余弦值为AB‎·‎BC‎|AB||BC|‎=‎3‎‎2‎,所以∠ABC=150°,所以S△ABC=‎1‎‎2‎×1×2×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎,故选A.‎ ‎26.C　[解析] 由已知有e4i=cos 4+i·sin 4,因为π<4<‎3π‎2‎,所以4在第三象限,所以cos 4<0,sin 4<0,故e4i表示的复数在复平面内位于第三象限,故选C.‎ ‎27.D　[解析] AC=AB+BC=AB+BD+DC=AB+4BD,又AD⊥AB,所以AC·AD=(AB+4BD)·AD=4BD·AD=4|BD||AD|cos∠ADB=4|AD|2=4.故选D.‎ ‎28.B　[解析] 因为AB=CB-CA=a-b,BD=‎1‎‎2‎DA,所以AD=‎2‎‎3‎AB=‎2‎‎3‎a-‎2‎‎3‎b,所以CD=CA+AD=b+‎2‎‎3‎a-‎2‎‎3‎b=‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b,故选B.‎ ‎29.D　[解析] 由题得AM·AN=(AB+BM)·(AD+DN)=AB·AD+‎1‎‎2‎AB·DC+‎1‎‎2‎AD·BC+‎1‎‎4‎BC·DC=2×1×‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎×2×2+‎1‎‎2‎×1×1+‎1‎‎4‎×1×2×‎1‎‎2‎=‎15‎‎4‎,故选D.‎ ‎30.π‎6‎　[解析] 由|a-2b|=‎7‎得|a|2-4a·b+4|b|2=7,∴1-4a·b+4×3=7,∴a·b=‎3‎‎2‎,∴cos=‎3‎‎2‎‎1×‎‎3‎=‎3‎‎2‎,∴=π‎6‎.‎ ‎31.1　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),因为z·2i=|z|2+1,所以-2b+2ai=a2+b2+1,所以a=0,‎‎-2b=a‎2‎+b‎2‎+1,‎解得a=0,‎b=-1,‎所以z=-i,则|z|=1.‎ ‎32.‎1‎‎3‎　[解析] 以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),D(0,1),E‎1‎‎3‎,‎4‎‎3‎.所以DE=‎1‎‎3‎,‎1‎‎3‎,AC=(-1,2),所以DE·AC=‎1‎‎3‎×(-1)+‎1‎‎3‎×2=‎1‎‎3‎.‎ ‎33.‎1‎‎2‎　[解析] 因为AC=tAB,所以OC-OA=t(OB-OA),得OC=tOB+(1-t)OA=(2-2t,2t),|OC|=‎(2-2t)‎‎2‎‎+‎‎(2t)‎‎2‎=2‎2t-‎‎1‎‎2‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎,当t=‎1‎‎2‎时,|OC|有最小值‎2‎.‎