数学理卷·2017届湖北省襄阳四中高三下学期第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届湖北省襄阳四中高三下学期第一次模拟考试（2017

湖北省襄阳四中2017届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）‎ A.4.5 B．6 C.7.5 D．9‎ ‎4.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ‎，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知数列满足，，则=（ ）‎ A.-6 B．6 C.-2 D．2‎ ‎7.在中，，分别为边，上的点，且，，若，，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数的部分图象如图所示，若，，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎10.已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形内部有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设为双曲线上且在第一象限内的点，，分别是双曲的左、右焦点，，轴上有一点且，是的中点，线段与交于点.若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若存在正实数，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.若变量，满足条件，则最小值为 ．‎ ‎14.若随机变量，且，则展开式中项的系数是 ．‎ ‎15.半径为1的球内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 ．‎ ‎16.在中，若，点、分别是，的中点，则的取值范围为 .‎ 三、解答题：包括必考题和选考题两部分.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生任选一题做答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知、分别在射线、（不含端点）上运动，，在中，角，，的对边分别为，，.‎ ‎（1）若，，依次成等差数列，且公差为2，求的值；‎ ‎（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值.‎ ‎18. 襄阳农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：‎ 襄阳农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是12月1日与12月5日这两组数据，情根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 注：，.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且.‎ ‎（1）已知点在上，且，求证：平面平面；‎ ‎（2）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？‎ ‎20. 已知椭圆的焦距为2，点在直线上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为坐标原点，为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切点于点，求面积的最小值.‎ ‎21. 已知，其中.‎ ‎（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；‎ ‎（2）求的极值；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，，证明.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.‎ ‎（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于，两点，求.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲.‎ 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（模拟一）‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5:DABAA 6-10:DBAAC 11、12：AC 二、填空题 ‎13.1 14.1620 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），，成等差，且公差为2，‎ ‎，，又，，‎ ‎，，‎ 恒等变形得，解得或.又，.‎ ‎（2）在中，，‎ ‎，，.‎ 的周长 ‎，‎ 又，，当即时，取得最大值.‎ ‎18.解：（1）恰好是不相邻的2天数据的概率是.‎ ‎（2）由数据得：；‎ ‎，，；‎ ‎，，；‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎.故关于的线性回归方程.‎ ‎（3）当时，，；‎ 当时，，，故得到的线性回归方程是可靠的.‎ ‎19.解：（1）证明：，，，底面是直角梯形，，，，即，，，，，底面，，，平面，平面，平面平面.‎ ‎（2），，平面，则为直线与平面 所成的角，若与平面所成夹角，则，即.‎ 取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，‎ 设平面的法向量，则即令，则，，，是平面的一个法向量，‎ ‎，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.‎ ‎20.解：（1）椭圆的焦距为2，，又点在直线上，，.故椭圆的标准方程是.‎ ‎（2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设，.‎ 由得，相切，‎ ‎，且，，.，.‎ 当时，，又，，.‎ 令，则，‎ 由得，在上单减，在单增，‎ ‎.即当的斜率为时，面积的最小值为.‎ 同理当时，，当的斜率为时，面积的最小值为.‎ 综上，面积的最小值为.‎ ‎21. 解：（1）当时，，，所以切线的斜率，又直线过原点，所以，由得，.所以，故切线的方程为，即.‎ ‎（2）由，可得，‎ ‎①当时，，在上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且，没有极大值.‎ ‎②当时，或，.在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极大值，且，在时取到极小值，且；‎ ‎③当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；‎ ‎④当时或，，在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且.在时取到极大值，且.‎ 综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；‎ 当时，在时取到极大值，在时取到极小值；‎ 当时，没有极大值也没有极小值；‎ 当时，在时取到极小值，在时取到极大值.‎ ‎（3）由（2）知当且时，有两个极值点，，且，，‎ 设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，由且可得，所以，即.‎ ‎22.解：（1）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）圆的直角坐标方程为，把代入得，‎ ‎，，又，.‎ ‎23. 解：（1）当时，，原不等式等价于，‎ 或或，‎ 解得：或或，所以不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ ‎.‎