高中数学讲义微专题90 取球问题

高中数学讲义微专题90 取球问题

微专题 90 取球问题 一、基础知识： 在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来 考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的 结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本 事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分 子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在 解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。 二、典型例题： 例 1：一袋中有 6 个黑球，4 个白球 （1）不放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出 3 个球，求取到白球个数 的分布列，期望和方差 （1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相 关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下 6 个黑球，3 个白球；若第二次取到黑球， 则第三次取到黑球的概率为 ，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为 ，从 而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型， 所以第三次取球时依然是 6 个黑球，3 个白球，取得黑球的概率为 解：设事件 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” X 6 5 9 8 3 6 9 8 A   6 5 3 6 48 2 9 8 9 8 72 3P A       6 9 B   2 3P B  （3）思路：本问依然属于独立重复试验模型， 的取值为 ，则 符合二项分布，即 ，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列 解： 的取值为 ，依题意可得： 例 2：已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球，现从甲，乙两个盒内各任取 2 个球 （1）求取出的 4 个球中没有红球的概率 （2）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 （3）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望 思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球 个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概 率 （1）设事件 为“甲盒中取出 个红球”，事件 为“乙盒中取出 个红球” 则 设事件 为“4 个球中没有红球” 则 X 0,1,2,3 X 23, 5X B     X 0,1,2,3 23, 5X B       3 0 3 3 270 5 125P X C          2 1 3 3 2 541 5 5 125P X C               1 2 2 3 3 2 362 5 5 125P X C               3 3 3 2 83 5 125P X C       X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 23, 5X B      2 63 5 5EX    2 3 183 5 5 25DX       iA i jB j    2 2 1 3 3 3 2 2 4 6 , i i j j i j C C C CP A P BC C     A       0 2 0 2 1 3 3 3 0 0 2 2 4 6 3 3 1 6 15 10 C C C CP A P A P B C C       （2）设事件 为“4 个球中恰有 1 个红球” （3） 可取的值为 的分布列为： 例 3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分 别为 、 、 ，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 ，某人用左右手分别从甲、乙两 袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数 为随机变量 ，求 的分布列和数学期望． 解：（1）设事件 为“两只手中所取的球颜色不同”，则 为“两只手中所取的球颜色相同” （2） 可取的值为 左手取球成功的概率 右手取球成功的概率 B       0 2 1 1 1 1 0 2 1 3 3 3 1 3 3 3 0 1 1 0 2 2 2 2 4 6 4 6 3 9 3 3 2 6 15 6 15 5 C C C C C C C CP B P A B P A B C C C C             0,1,2,3     10 10P P A        21 5P P B          0 2 2 0 1 1 1 1 1 3 3 3 1 3 3 3 0 2 1 1 2 2 2 2 4 6 4 6 22 5 C C C C C C C CP P A B P A B C C C C             1 1 0 2 1 3 3 3 1 2 2 2 4 6 3 3 13 6 15 10 C C C CP P A B C C          0 1 2 3 P 1 10 2 5 2 5 1 10 1 2 2 1 30 1 2 310 5 5 10 2E          9 2 3 4 3 X X A A     2 3 3 3 4 3 21 1 9 9 9 9 9 9 3P A P A              X 0,1,2 2 2 2 2 3 4 1 2 9 5 18 C C CP C    2 2 2 3 3 3 2 2 9 1 4 C C CP C    的分布列为 例 4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从 袋中摸出一个球，然后放回，若累计 3 次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第 5 次摸 球后结束 （1）求摸球四次就停止的事件发生的概率 （2）记摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及其期望 （1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四 次中一共摸到 3 次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。通过红白球数量关 系可知一次摸球中摸到红球的概率为 ，然后可按照分析列式并求出概率。 解：设事件 为“摸球四次即停止摸球“ 解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为 （2）思路：可知 可取的值为 ，当 时，摸球是通过完成 5 次后停止，所以 可利用独立重复试验模型计算概率；当 时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸 球的次数（3 次，4 次，5 次）分类讨论后再汇总 解： 可取的值为   5 1 130 1 118 4 24P X                   5 1 5 1 71 1 118 4 18 4 18P X                    5 1 52 18 4 72P X     X X 0 1 2 P 13 24 7 18 5 72 13 7 5 190 1 224 18 72 36EX          1 3 A 1 3   2 2 3 2 1 4 3 3 9P A C              0,1,2,3 0,1,2  3   0,1,2,3 的分布列为： 例 5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大 小完全相同的 4 个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出 1 个球，记下上面 的字后放回箱中，再从中任取 1 个球，重复以上操作，最多取 4 次，并规定若取出“隆”字球， 则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到 标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为 三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为 ，求 的分布列和数学期望． 解：（1）设 为“获得 等奖” （2）摸球次数 可取的值为   52 320 3 243P           4 1 5 1 2 801 3 3 243P C            2 3 2 5 1 2 802 3 3 243P C               3 2 2 2 2 2 3 4 1 1 2 1 1 2 1 51 173 3 3 3 3 3 3 3 243 81P C C                                             0 1 2 3 P 32 243 80 243 80 243 17 81 32 80 80 17 1310 1 2 3243 243 243 81 81E            iA i  1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 256P A         3 2 3 1 1 1 1 514 4 4 4 256P A A         1 2 3 3 4 1 1 1 1 9 4 4 4 4 64P A C A        1,2,3,4   11 4P      3 1 32 4 4 16P        3 3 1 93 4 4 4 64P         3 3 3 274 4 4 4 64P       的分布列为： 例 6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球；乙箱子里面装 有 1 个白球，2 个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中 ① 摸出 3 个白球的概率 ② 获奖的概率 （2）求在三次游戏中获奖次数 的分布列与期望 （1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的 个数。则①：若摸出 3 个白球，则情况为甲 2 乙 1。②：若获奖，则白球个数不少于 2 个，可 分成白球有 3 个或有 2 个两种情况，分别求出概率再求和即可 解：设 为“甲箱子里取出 个白球”， 为“乙箱子里取出 个白球” ① 设事件 为“摸出 3 个白球” ② 设事件 为“获奖”（即白球不少于 2 个） （2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数 服从二项分布，由（1）可得 ，从而可利用公式计算概率，列出分布列 解： 可取的值为 ，依题意可得：   1 2 3 4 P 1 4 3 16 9 64 27 64 1 3 9 27 111 2 3 44 16 64 64 4E          X iA i jB j A     2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 5 3 1 5 C C CP A P A B C C      B         1 1 1 1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 0 2 1 2 2 2 2 5 3 5 3 1 7 5 10 C C C C C CP B P A B P A B P A B C C C C           X 73,10X B     X 0,1,2,3 73,10X B       3 0 3 3 270 10 1000P X C          2 1 3 7 3 1891 10 10 1000P X C          的分布列为： 例 7：一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 （1）从袋子中任意摸出 3 个球，求摸出的球均为白球的概率； （2）一次从袋子中任意摸出 3 个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每 次操作完成后将球放回），某人连续摸了 3 次，记“摸球成功”的次数为 ，求 的分布列和数 学期望。 （1）思路：此问可用古典概型解决，事件 为“10 个球中任意摸出 3 个球”，则 ， 所求事件 为“均是白球”，则 ，从而 解：设事件 为“3 个球均为白球“ （2）思路：按题目叙述可知对于摸 3 次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验， 结合 的含义可知 服从二项分布。但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要 求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算 的分布列即可 解：设事件 为“一次摸球成功” 的取值为 ，依题意可得：   2 2 3 7 3 4412 10 10 1000P X C               3 3 3 7 3433 10 1000P X C       X X 0 1 2 3 P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 73,10X B      7 213 10 10EX         3 10n C  A   3 4n A C       1 30 n AP A n  A   3 4 3 10 4 1 120 30 CP A C      B   2 1 3 0 6 4 6 4 3 10 80 2 120 3 C C C CP B C        0,1,2,3 23, 3B      的分布列为： 例 8：袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 3 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可 能性都相等. （1）求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； （2）用 X 表示取出的 3 个小球上所标的最大数字，求随机变量 X 的分布列和数学期望. （1）思路：本题的特点在于每个编号都有 3 个球，若将这 12 个球视为不同元素，则可利用 古典概型进行计算，设 为“12 个球中任取 3 个”，则 ，事件 为“三个球数字各 不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即 ，然后每个编号中都有 3 个小球可 供选择，即 ，所以 。进而可计算出 解：设事件 为“三个球数字各不相同” （2）思路：依题意可知 的取值为 ，依然用古典概型解决，但要明确 取每个值时 所代表的情况：当 时，只能 3 个球均为 1 号球；当 时，说明至少有一个 2 号球， 其余的用 1 号球组成，即 ，或者使用间接法：从 1,2 号共 6 个球中先随意 取三个，再减去不含 2 号球的情况，即 个，同理可得： 时，至少有一个 3 号 球，其余的球为 1,2 号球，所以由 个， 时，至少有一个 4 号球，其余的球为 1,2,3 号球，所以由 个，进而求得概率得到分布列   3 0 3 1 10 3 27P C          2 1 3 2 1 61 3 3 27P C            2 1 2 3 2 1 122 3 3 27P C               3 3 3 2 83 3 27P C         0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 1 2 4 80 1 2 3 227 9 9 27E             3 12n C  A 3 4C 1 1 1 3 3 3C C C     23 1 4 3n A C C   P A A        33 1 4 3 3 12 27 55 C Cn AP A n C      X 1,2,3,4 X 1X  2X  3 2 1 1 2 3 3 3 3 3C C C C C   3 3 6 3C C 3X   3 6 9 3C C 4X   3 3 12 9C C 解： 的取值为 的分布列为： 例 9：一个盒子中装有大小相同的小球 个，在小球上分别标有 的号码，已知从盒 子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为 的概率为 ， （1）盒子中装有几个小球？ （2）现从盒子中随机的取出 4 个球，记所取 4 个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为 随机变量 （如取 2468 时， ；取 1246 时， ，取 1235 时， ） （1）思路：以两球号码最大值为 的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个 号球和一个 其它号码球的概率为 ，从而利用古典概型列出关于 的方程并解出 解：设事件 为“两球号码最大值为 ” 即 解得： （2）思路：由（1）可得小球的编号为 ，结合所给的例子可知 的取值为 ，其概 率 可 用 古 典 概 型 计 算 。 代 表 所 取 得 数 两 两 不 相 邻 ， 可 能 的 情 况 有 ， 共 5 种； 表示只有一对相邻的数或两对相邻 的数（两队相邻的数之间不再相邻）； 表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻； 表示四个数均相邻，共 5 个。由于 包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率 再用 1 减即可。 X 1,2,3,4   3 3 3 12 11 220 CP X C      3 3 6 3 3 12 192 220 C CP X C      3 3 9 6 3 12 643 220 C CP X C      3 3 12 9 3 12 1364 220 C CP X C    X X 1 2 3 4 P 1 220 19 220 16 55 34 55 1 19 16 34 775 1551 2 3 4220 220 55 55 220 44EX           n 1,2,3, ,n n 1 4  1  2  3  n n 1 4 n n A n   1 1 2 1 1 4 n n CP A C      1 1 1 4 2 n n n   8n  1 8  1,2,3,4 1   1,3,5,7        1,3,5,8 , 1,3,6,8 , 1,4,6,8 , 2,4,6,8 2  3  4  2  解： 的取值为 的分布列为： 例 10：袋中装有 35 个球，每个球上分别标有 的一个号码，设号码为 的球重 克，这些球等可能的从袋中被取出 （1）如果任取 1 球，试求其重量大于号码数的概率 （2）如果不放回任意取出 2 球，试求它们重量相等的概率 （3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号 码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球 3 次，设停止之前取球次数为 ，求 的分布 列和期望 思路：（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在 35 个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式 ，可解出 或 ，所以 的解集为 共 30 个数，所以取出球重量大于号码数 的概率为 解：设事件 为“取 1 球其重量大于号码数” 若球重量大于号码数，则  1,2,3,4   4 8 5 11 14P C      4 8 4 2 3 4 20 23 70 7P C         4 8 5 5 14 70 14P C             42 1 1 3 4 7P P P P               1 2 3 4 P 1 14 4 7 2 7 1 14 1 4 2 1 331 2 3 414 7 7 14 14E          1 35 n 2 5 152 n n    2 5 152 n n n   6 6n   6 6n   n  1,2,3,9,10,11, 35 30 6 35 7 A 2 5 152 n n n   ，解得： 或 的取值集合为 ，共 30 个元素 （2）思路：不妨设取出的球的编号为 ，从而 ，可推得： ，从而取出球的组合为 共 4 组，所以概率为 解：设所取球的编号为 ，依题意可得： 取出球的组合为 设事件 为“取出 2 球重量相等” （3）思路：依题意可知： 可取的值为 ，由（1）可知球重量大于号码的概率为 ，因 为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。当 时，可知取出的球重量小于号码 数；当 时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当 时， 则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列 解： 可取的值为 ，由（1）可知取出球重量大于号码的概率 的分布列为： 2 12 30 0n n    6 6n   6 6n   1 35,n n N    n  1,2,3,9,10,11, 35   30 6 35 7P A   ,m n 2 2 5 15 5 152 2 n mn m     10m n         1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6 2 35 4 C ,m n 2 2 5 15 5 152 2 n mn m         2 2 10 10 0n m n m n m n m         m n 10m n          1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6 B   2 35 4 4 595P B C    1,2,3 6 7 1  2  3   1,2,3   6 7P A      6 11 1 7 7P P A        6 1 62 7 7 49P        6 6 363 7 7 49P       三、历年好题精选 1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行 奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个 球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． （1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ① 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． （2）商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成．为了使顾客得 到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 2、（2014，重庆）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数 字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片． (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2) 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 的分布列与数学期望． (注：若三个数 满足 ，则称 为这三个数的中位数) 3、袋中共有 10 个大小相同的编号为 1,2,3 的球，其中 1 号球有 1 个，2 号球有 3 个，3 号球 有 6 个 （1）从袋中任意摸出 2 个球，求恰好是一个 2 号球和一个 3 号球的概率 （2）从袋中任意摸出 2 个球，记得到小球的编号数之和为 ，求随机变量 的分布列和数学 期望 4、袋中装有标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，现从袋中任意取出 3 个小球，假设每个小球被 取出的可能性都相等 （1）求取出的 3 个小球上的数字分别是 1,2,3 的概率 （2）求取出的 3 个小球上的数字恰有 2 个相同的概率  1 2 3 P 1 7 6 49 36 49 1 6 36 1271 2 37 49 49 49E        X X , ,a b c a b c  b   （3）用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求 的分布列 习题答案： 1、解析：（1）① 设顾客所获的奖励额为 （2） 可取的值为 的分布列为 20 60 0.5 0.5 所以顾客所获的奖励额的期望为 ． X X X   1 1 1 3 2 4 160 2 C CP X C    X 20,60   1 1 1 3 2 4 160 2 C CP X C     2 3 2 4 120 2 CP X C   X X P 40EX  （2）每个顾客平均奖励额为 元，可知期望有可能达到 的只有方案 或 ，分别分析以下两种方案： 方案一： ，则 的取值为 方案二： ，则 的取值为 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2. 2、解析：（1）设事件 为“3 张卡片数字完全相同” （2） 可取的值为 的分布列为： 1 2 3 60000 601000  60  10,10,50,50  20,20,40,40  10,10,50,50 1X 20,60,100  1 2 4 1 120 6P X C     1 1 2 2 1 2 4 260 3 C CP X C     1 2 4 1 1100 6P X C   1 1 2 120 60 100 606 3 6EX             2 2 2 1 1 2 1 160020 60 60 60 100 606 3 6 3DX            20,20,40,40 2X 40,60,80  2 2 4 1 140 6P X C     1 1 2 2 2 2 4 260 3 C CP X C     2 2 4 1 180 6P X C   2 1 2 140 60 80 606 3 6EX             2 2 2 1 1 2 1 40040 60 60 60 80 606 3 6 3DX           A   3 3 4 3 3 9 5 84 C CP A C    X 1,2,3   3 2 1 4 4 5 3 9 34 171 84 42 C C CP X C       1 1 2 2 1 3 3 4 4 3 6 3 3 9 432 84 C C C C C CP X C       2 1 2 7 3 9 7 13 84 12 C CP X C    X X 3、解析：（1）设事件 为“一个 2 号球，一个 3 号球” （2） 可取的值为 的分布列为： 3 4 5 6 4、解析：（1）设事件 为“3 个小球上的数字分别是 1,2,3” （2）设事件 为“3 个小球上的数字恰有 2 个相同” （3） 可取的值为 P 17 42 43 84 1 12 17 43 1 471 2 342 84 12 28EX        A   1 1 3 6 2 10 2 5 C CP A C     3,4,5,6   1 3 2 10 1 13 15 CP C      2 1 3 6 2 10 1 14 5 C CP C       1 1 3 6 2 10 25 5 C CP C      2 6 2 10 16 3 CP C      P 1 15 1 5 2 5 1 3 1 1 2 13 4 5 6 515 5 5 3E          A   1 1 1 2 2 2 3 10 1 15 C C CP A C    B   1 1 5 8 3 10 1 3 C CP B C  X 2,3,4,5   1 2 1 2 2 2 3 10 42 120 C C CP X C      2 1 1 2 2 4 2 4 3 10 163 120 C C C CP X C    的分布列为： 2 3 4 5   2 1 1 2 2 6 2 6 3 10 364 120 C C C CP X C      2 1 1 2 2 8 2 8 3 10 645 120 C C C CP X C    X X P 1 30 2 15 3 10 8 15 1 2 3 8 132 3 4 530 15 10 15 3E         