数学（文）卷·2017届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）（2016

数学（文）卷·2017届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）（2016

‎ ‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，，，则该研究所可以（ ）‎ A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知，是虚数单位，命题：在复平面内，复数对应的点位于第二象限；命题：复数的模等于2，若是真命题，则实数的值等于（ ）‎ A．或1 B．或 C． D．‎ ‎5.在△中，角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数（，）的周期为，其图像向右平移个单位后得到函数的图象，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）‎ ‎10.某算法的程序框图如图所示，若输入的，的值分别为60与32，则程序执行后的结果是（ ）‎ A．0 B．4 C．7 D．28‎ ‎11.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，向量，，且，则 ．‎ ‎14.已知，，则当正数 时，使得．‎ ‎15.已知圆：和两点，（），若的直角顶点在圆上，则实数的最大值等于 ．‎ ‎16.已知，满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等差数列的前项和 ，且，；数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18.2016年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：‎ 甲电商：‎ 消费金额 ‎（单位：千元）‎ 频数 ‎50‎ ‎200‎ ‎350‎ ‎300‎ ‎100‎ 乙电商：‎ 消费金额 ‎（单位：千元）‎ 频数 ‎250‎ ‎300‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，．‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积．‎ ‎20.如图，圆：，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．‎ ‎（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与元交于，两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，且在区间上恒成立，求的组织范围；‎ ‎（3）若，判断函数的零点的个数．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线：（）与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的取值范围．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围．‎ 试卷名称答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D B B A D B B C C 二、填空题 ‎13. 14.2 15.6 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设数列的公差为，由解得 故其前项和．‎ ‎18.解：（1）频率分布直方图如下图所示：‎ 甲的中位数在区间内，乙的中位数在区间内，所以甲的中位数大．‎ 根据频率分布直方图判断甲的方差大．‎ ‎（2）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为2人，记作，；运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，记作1,2,3,4．‎ 在这六人中任意抽取两人，所得基本事件空间为：‎ ‎，共计15个元素．　‎ 把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作，‎ 则，共计8个元素，‎ ‎∴．‎ ‎19. （1）证明：设交于点，连接，‎ 因为底面是正方形，‎ 所以⊥，且为的中点，‎ 又⊥，，‎ 所以⊥平面，‎ 由于平面，故，‎ 又，故．‎ ‎（2）解：设的中点为，连接，，，且，‎ 所以为平行四边形，，‎ 因为⊥平面，‎ 所以⊥平面，所以⊥，的中点为，‎ 所以，‎ 由⊥平面，又可得⊥，‎ 又⊥，，‎ 所以平面，‎ 所以，又，‎ 所以平面．‎ ‎．‎ 故三棱锥的体积为．　‎ ‎20.解：（1）因为，，故，‎ 所以，故，‎ 又圆的标准方程为，从而，所以，‎ 由题设得，，，‎ 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．‎ ‎（2）当与轴不垂直时，设的方程为（），，，‎ 由得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 过点且与垂直的直线：，点到的距离为，‎ 所以，‎ 故四边形的面积．‎ 可得当与轴不垂直时，由，得四边形面积的取值范围为．　‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12．‎ 综上，四边形面积的取值范围为．‎ ‎21.解：（1）若，则，．‎ ‎，‎ 由，得；由，得．‎ 所以函数的单调增区间为；单调减区间为．‎ ‎（2）依题意，在区间上，．‎ ‎，，‎ 令，得或．‎ 若，则由，得；由，得．‎ 所以，满足条件；‎ 若，则由，得或；由，得．‎ ‎，‎ 依题意即所以．‎ 若，则，‎ 所以在区间上单调递增，‎ ‎，不满足条件；‎ 综上，．‎ ‎（3），．‎ 所以，设，‎ ‎．‎ 令，得，‎ 当时，；当时，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，‎ 因为，所以，‎ 所以的最小值，‎ 从而在区间上单调递增，‎ 又，‎ 设，‎ 则，令，得，‎ 由，得；由，得．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以恒成立，所以，，‎ 所以，‎ 又，所以当时，函数恰有1个零点．‎ ‎22．解：（1）由得，即，‎ 所以的极坐标方程为．‎ 由，得，所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设射线：的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且，‎ 联立得，‎ 联立得，‎ 所以．‎ 即的取值范围为．‎ ‎23.解：（1）当时，，‎ ‎，即，‎ 上述不等式可化为或或 解得或或 ‎ 所以或或，‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为的解集包含，‎ 所以当时，不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，‎ 即，所以，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以，所以，‎ 所以实数的取值范围是．‎