【数学】2019届一轮复习人教A版 二项式定理 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 二项式定理 学案

二项式定理 ‎【考点梳理】‎ ‎1．二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )；‎ ‎(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.‎ ‎2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式 系数C 当 ＜(n∈N )时，是递增的 当 ＞(n∈N )时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 ‎3．各二项式系数和 ‎(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、展开式中的特定项或特定项的系数 ‎【例1】(1)的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－ B． C．－ D． ‎(2)已知的展开式中含x的项的系数为30，则实数a＝________.‎ ‎[答案] (1) D (2) －6‎ ‎[解析] (1)Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为C＝.‎ ‎(2)的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·＝(－a)rC·x.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1·C＝30，解得a＝－6.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 ＋1项，再由特定项的特点求出 值即可．‎ ‎2．已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 ＋1项，由特定项得出 值，最后求出其参数．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).‎ ‎[答案] 10‎ ‎[解析] 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.‎ ‎2．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] (1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝9Cx2，由题意得9C＝54，解得n＝4.‎ ‎【例2】(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎[答案] C ‎[解析] 因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4，因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.‎ ‎【类题通法】‎ 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 ‎(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．‎ ‎(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．‎ ‎(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．‎ ‎【对点训练】‎ ‎(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.‎ ‎[答案] 40‎ ‎[解析] 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.‎ ‎【例3】(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20 C．30 D．60‎ ‎[答案] C ‎[解析] (x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－ ·x ＝Cx6－ ，令6－ ＝5，则 ＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.‎ ‎【类题通法】‎ 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤 ‎【对点训练】‎ ‎(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.‎ ‎[答案] 40‎ ‎[解析] 由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.‎ 考点二、二项式系数的和与各项的系数和 ‎【例4】(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A．－27C B．27C C．－9C D．9C ‎(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)‎ A．1 024 B．243 C．32 D．24‎ ‎[答案] (1) B (2) A ‎[解析] (1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.‎ ‎(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|‎ ‎＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.‎ ‎2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．在(n∈N )的展开式中，所有项系数的和为－32，则的系数等于(　　)‎ A．360 B．－360 C．270 D．－270‎ ‎[答案] D ‎[解析] 在中，令x＝1可得，其展开式所有项系数的和为(－2)n＝－32，则n＝5，则的展开式的通项为Tr＋1＝C(－3)r.令5－r＝2，可得r＝3，所以展开式中的系数为－270.‎ ‎2．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)‎ A．2n B． C．2n＋1 D． ‎[答案] D ‎[解析] 设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①‎ f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②‎ 由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，‎ 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.‎ 考点三、二项式系数与展开式系数的最值问题 ‎【例5】(1)设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a＝7b，则m＝(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎(2) (x＋2y)7的展开式中系数最大的项是________．‎ ‎[答案] (1) B (2) 672x2y5‎ ‎[解析] (1)根据二项式系数的性质知：(x＋y)‎2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)‎2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又‎13a＝7b，所以‎13C＝‎7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选B.‎ ‎(2)(x＋2y)7的展开式的通项为Tr＋1＝2rCx7－ryr.由可得≤r≤.∵r＝0，1，…，7，∴r＝5.∴(x＋2y)7的展开式中系数最大的项是T6＝‎25Cx2y5＝672x2y5.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．‎ ‎2．求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：‎ 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．‎ 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________(用数字作答)．‎ ‎[答案] －160‎ ‎[解析] 因为二项式系数最大的项是T4＝Cx3(－2y)3＝－160x3y3，所以(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为－160.‎ ‎2．在5的展开式中x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，r＝0,1，2，…，5，由5－2r＝3，解得r＝1，所以(－a)C＝－‎5a＝－5，解得a＝1，所以Tr＋1＝(－1)rCx5－2r，r＝0，1，2，…，5，当r＝0时，(－1)rC＝1；当r＝2时，(－1)‎2C＝10；当r＝4时，(－1)‎4C＝5.所以该展开式各项的系数中最大值为10.故选B.‎