数学理卷·2017届广东省广州市高三下学期第二次模拟考试（2017

数学理卷·2017届广东省广州市高三下学期第二次模拟考试（2017

‎2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的大致图象是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）‎ A．15 B．9 C．1 D．‎ ‎10．已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．16‎ ‎12．定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知点，，，，若点在轴上，则实数 ．‎ ‎14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．‎ ‎15．设，则 ．‎ ‎16．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．设等比数列的前项和，已知，（）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18．如图，是边长为的菱形，，平面，平面，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.‎ ‎（Ⅰ）求，的分布列；‎ ‎（Ⅱ）不管实施哪种方案，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.‎ ‎20．已知双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎21．已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）已知，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）‎ 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 ‎1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD 二、填空题 ‎13． 14．23 15． 16．27‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为数列是等比数列，所以.‎ 因为，所以，解得.‎ 因为，‎ 所以，即.‎ 因为，所以.‎ 因为等比数列的公比为，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）因为等比数列的首项为，公比，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以 ‎.‎ 设.‎ 则.‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以数列的前项和.‎ ‎18．解：（Ⅰ）证明：连接，‎ 因为是菱形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 所以，，，四点共面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.‎ 可以求得，，，，‎ ‎.‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 不妨取，则平面的一个法向量为.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19．解：（Ⅰ）依题意，的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，‎ 因为，，‎ ‎，.‎ 所以的分布列为 依题意，的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，‎ 因为，，‎ ‎，.‎ 所以的分布列为 ‎（Ⅱ）令表示方案所带来的利润，则 所以，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以实施方案1，第二个月的利润更大.‎ ‎20．解：（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，‎ 所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得.‎ 因为，‎ 所以.‎ 设，，‎ 根据根与系数的关系得，.‎ 则.‎ 因为，即.‎ 整理得.‎ 令，则.‎ 所以.‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎ ‎21．解：（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 因为，所以.‎ 所以函数在点处的切线方程为，即.‎ 已知函数在点处的切线方程为，比较求得.‎ 所以实数的值为.‎ ‎（Ⅱ）由，即.‎ 所以问题转化为在上有解.‎ 令，‎ 则.‎ 令，‎ 所以当时，有.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 所以.‎ 所以，即在区间上单调递减.‎ 所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.‎ 将直线代入中消去得，.‎ 解得或.‎ 所以点，，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.‎ 设过点且与直线平行的直线方程.‎ 将代入整理得，.‎ 令，解得.‎ 将代入方程，解得.‎ 易知当点的坐标为时，的面积最大.‎ 且点到直线的距离为.‎ 的最大面积为.‎ ‎23．解：（Ⅰ）证明：因为，‎ 所以.‎ 所以要证明，‎ 即证明.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 当时，不可能恒成立.‎ 当时，‎ 此时，‎ 要使恒成立，必须，解得.‎ 综上可知，实数的取范为.‎