贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级 数 学 试 题 （理科）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3到4页.‎ ‎2、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎4、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A.2019 B.1010 C.2018 D.1011‎ ‎3.若向量满足，且，则向量的夹角为（ ）‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的图象是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知两直线、和平面，若，，则直线、的关系一定成立的是（ ）‎ A.与是异面直线 B. ‎ C.与是相交直线 D.‎ ‎8.已知直线与垂直，则（ ）‎ A. B. C.-2 D.2‎ ‎9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎10.已知圆与圆外切，则（ ） （第11题图）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图所示，已知四棱锥的高为3，底面ABCD为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为（ ）‎ A. B.3 C. D.2‎ ‎12.己知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则____________.‎ ‎14.函数的最小值为____________.‎ ‎15.已知实数满足，则的最大值为____________. （第16题图）‎ ‎16.如图，在直角梯形中，，若分别是边上的动点，满足，其中，若，则的值为____________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知等差数列满足，前7项和为 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.‎ ‎18.某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：‎ 组号 分组 频数 频率[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 第1组 ‎[50，60)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 ‎[60，70)‎ ‎0.35‎ 第3组 ‎[70，80)‎ ‎30‎ 第4组 ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.‎ ‎[来源:学*科*网]‎ ‎19.如图，是平行四边形，平面，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积 ‎，求b．‎ ‎21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥B1C；‎ ‎（Ⅱ）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎22.已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.‎ 遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级 数 学 试 题 （理科）[来源:学科网]‎ ‎（参考答案）‎ 一、 选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A[来源:Z,xx,k.Com]‎ C D B C B D B A D A 二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．4 14． 15． 16．‎ 三、解答题：（共6个小题，共70分）‎ ‎17.（本大题10分）‎ 解：（Ⅰ）由，得 因为所以·····················································2分 ‎·····················································5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎·····························7分 ‎··········································10分 ‎18.（本大题12分）‎ ‎（Ⅰ）＝100－5－30－20－10＝35·····································3分 ‎＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30·····································6分 ‎（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，‎ 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人································8分 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，‎ 所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝····················12分 ‎19.（本大题12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：，平面，平面 平面.同理可证平面.······································3分 ‎，平面平面.‎ 平面，平面··········································6分 ‎（Ⅱ）作于点，连接，‎ 平面，平面，.‎ 又，，平面.‎ 则为与平面所成角···································8分 在中，，，，‎ ‎，，‎ ‎，························10分 因此，直线与平面所成角的正弦值为.··························12分 ‎20.（本大题12分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ········································3分 ‎ ‎ 故函数的最小正周期，解得.··································6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.··························8分 的面积，解得.···············10分 由余弦定理可得 ‎ 所以.·································································12分 ‎21.（本大题12分）‎ 解：（Ⅰ）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1‎ 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC····································2分 ‎∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C ‎∴AE⊥B1C································································5分 ‎（Ⅱ）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC 又∵平面ABC⊥平面ACC1A1‎ ‎∴EP⊥平面ACC1A1‎ 而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．‎ ‎∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．············································9分 由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==‎ 所以二面角C-AG-E的平面角正切值是··········································12分 ‎22.（本大题12分）‎ 解：（Ⅰ）设点的坐标为 由可得，，‎ 整理可得 所以曲线的轨迹方程为. ············································5分 ‎（Ⅱ）依题意，，则都在以为直径的圆上 是直线上的动点，设 则圆的圆心为，且经过坐标原点 即圆的方程为 ··········································8分 又因为在曲线上 由，可得 即直线的方程为 由且可得，解得 所以直线是过定点.······································12分