数学理卷·2018届湖南省长沙市铁路一中高三上学期第二次阶段性测试（2017

数学理卷·2018届湖南省长沙市铁路一中高三上学期第二次阶段性测试（2017

长铁一中2018届高三第二次阶段性测试 数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A．-1 B． C．1 D．‎ ‎3.已知均为第一象限的角，那么是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.若满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎6、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎7、若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝（ ）．‎ A．1 B C． D．2‎ ‎8.设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)‎ A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an ‎9设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎10.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积（ ）‎ A． B． C．16 D．32‎ ‎11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、已知对任意x>1，f(x)=lnx++1-k大于零恒成立，若k∈z，则k的 最大值为（ ）‎ A. 2 B.-3 C. 4 D. 5‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在多项式的展开式中，项的系数为 ．‎ ‎14. 观察下列不等式 ‎1＋<，‎ ‎1＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＜，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为________．‎ ‎15.若，其中，则的最大值为 .‎ ‎16、点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为 。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设的中点为，求直线PE与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）‎ 空气质量指数 空气质量等级 ‎1级优 ‎2级良 ‎3级轻度污染 ‎4级中度污染 ‎5级重度污染 ‎6级严重污染 该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.‎ ‎（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；‎ ‎（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用元，求的分布列及数学期望.‎ ‎20.已知椭圆（）的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，离心率为，点，为线段的中点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆的交于两点，已知直线与相交于点，判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：对时，；‎ ‎（2）当时，讨论函数零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设与交于点,求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，且，求证：‎ 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D C C B B D D A ‎ D C 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13．60; 14. 1＋＋＋＋＋<. 15. 30度; 16. ‎ ‎12题解：即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，‎ 则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，∵x＞1，∴lnx＞0，若k≤2，g′（x）＞0恒成立，‎ 即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，‎ 故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2，‎ 故g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增；‎ ‎∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2， 令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2，‎ ‎∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；‎ ‎∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；‎ ‎∴k的最大取值为4， 综上所述，k的最大值为4．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎17．解：(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，‎ 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，‎ 于是d(2a1＋25d)＝0.‎ 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.‎ 故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而 Sn＝(a1＋a3n－2)‎ ‎＝(－6n＋56)‎ ‎＝－3n2＋28n.‎ ‎18.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形中，过点作于点，‎ 如图所示：有 ‎∴在中，有，即 又因为平面平面且交线为，∴平面.‎ ‎（Ⅱ） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，‎ ‎∴，得平面．‎ 如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 由条件，则，，．‎ 则，，．------- 6分 在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：‎ 则在中，有，，∴．‎ ‎（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）‎ ‎∴，，设平面的法向量 则 ，取，则，，‎ ‎∴面的法向量．‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎19.【解析】（Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为 ‎（天）．‎ ‎（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，‎ 则：，‎ ‎．‎ ‎ 的分布列为 ‎ （元）．‎ ‎20.【解析】（Ⅰ）设点，由题意可知：，即 ①‎ 又因为椭圆的离心率，即 ②‎ 联立方程①②可得：，则 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上．‎ 假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，‎ 则联立直线和直线可得点 据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明： ‎ 设，联立方程可得：‎ 由韦达定理可得， （*）‎ 因为直线，，‎ 联立两直线方程得（其中为点的横坐标）即证：，‎ 即，即证 ‎ 将（*）代入上式可得 此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上上．‎ 方法二：设，两两不等，‎ 因为三点共线，所以，‎ 整理得： ‎ 又三点共线，有： ①‎ 又三点共线，有： ② 将①与②两式相除得：‎ 即，‎ 将即代入得：‎ 解得（舍去）或，所以点在定直线上．‎ 方法三：显然与轴不垂直，设的方程为，.‎ 由得.‎ 设，两两不等，‎ 则，，‎ 由三点共线，有： ①‎ 由三点共线，有： ②‎ ‎①与②两式相除得：‎ 解得（舍去）或，所以点在定直线上．‎ ‎21. 解：(1)当时，，则，令，则，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.‎ ‎(2)由（1）知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对，‎ ‎，即.‎ ‎①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当 时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.‎ ‎ ②当时，（ⅰ）当时，，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点. ‎ ‎(ⅱ)当时， ，令，则，所以函数在上单调递增，，当时，，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.‎