2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高二 第一学期期末考试 数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高二 第一学期期末考试 数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高二 第一学期期末考试 数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知命题p：，，则是　　‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，，则是：，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 直线的斜率，‎ 故倾斜角是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率，倾斜角问题，考查转化思想，是一道基础题．‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为 ‎【考点】三视图，空间几何体体积 ‎4．已知命题p：，使得，命题q：，使得，则下列命题是真命题的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由配方法得：，即命题p为真命题，，即命题q为假命题，得解.‎ ‎【详解】‎ 由，，即命题p为真命题，‎ 由，‎ 即无解，‎ 即命题q为假命题，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题.‎ ‎5．“”是“方程表示椭圆”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的性质得：，解得m范围，又“”范围小，“或”范围大，根据小范围推大范围，故得解。‎ ‎【详解】‎ ‎“方程表示椭圆”，解得：或，‎ 又“”是“或”的充分不必要条件，‎ 即“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质、充分条件，必要条件，充要条件，属简单题 ‎6．已知双曲线的离心率为，焦点是， ，则双曲线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意e=2，c=4，‎ 由e=，可解得a=2，‎ 又b2=c2﹣a2，解得b2=12‎ 所以双曲线的方程为。‎ 故答案为 。‎ 故答案选A.‎ ‎7．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用圆的标准方程的性质求解．‎ ‎【详解】‎ 以为圆心，4为半径的圆的方程为：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．‎ ‎8．如图，在正方体中，则与所成角的余弦值是　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得是与所成角，利用余弦定理即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 是与所成角，‎ 设正方体中棱长为a，‎ 则，，，‎ 与所成角的余弦值为：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ ‎9．曲线在点处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决．‎ ‎【详解】‎ 验证知，点在曲线上 ， ，所以，得切线的斜率为1，所以； 所以曲线在点处的切线方程为： ，即． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题．‎ ‎10．在平面内两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是　　‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 ‎【答案】A ‎【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出动点M的坐标，由M到这两定点的距离的平方和为26列等式，整理后得答案．‎ ‎【详解】‎ 设两定点分别为A，B，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图：‎ ‎，则，，‎ 设，‎ 则，‎ 即．‎ 整理得：．‎ 的轨迹方程是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法，解答的关键是建立恰当的平面直角坐标系，是中档题．‎ ‎11．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：若△AF1B的周长为4可知，所以方程为 ‎【考点】椭圆方程及性质 ‎12．若函数在上单调递增，则a的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意函数在R上单调递增，则在R上恒有，转为一元二次函数问题．‎ ‎【详解】‎ 函数 则，‎ 函数在R上单调递增，则说明在R上恒有；‎ 所以有，即： ‎ 解得：‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数判断含有参数的函数单调性以及一元二次函数的图形特征等知识点，属中等题．‎ 二、填空题 ‎13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为，，解得，根据勾股定理，圆锥的高等于，所以圆锥的体积.‎ ‎【考点】旋转体的体积 ‎14．抛物线的焦点到准线的距离是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.‎ ‎15．如图，在长方形ABCD中，，，E是CD的中点，沿AE将向上折起，使D为，且平面平面则直线与平面ABC所成角的正弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由面面垂直，易得斜线在平面的射影，进而得角．‎ ‎【详解】‎ 由题意，为等腰直角三角形，‎ 平面平面ABCE，‎ 在底面的射影为AE，‎ 为直线与平面ABC所成角，‎ 且，‎ 其正弦值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了斜线与平面所成角，难度不大．求线面角，可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。‎ ‎16．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一　不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点，‎ 则直线的方程为，由已知得，‎ 解得，又，所以，所以.‎ 法二　不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点，‎ 则直线的方程为，由已知得，‎ 所以，所以.‎ 三、解答题 ‎17．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求：‎ 顶点C的坐标；‎ 直线BC的方程．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】先求直线AC的方程，然后求出C的坐标；设出B的坐标，求出M代入直线方程为，与直线为联立求出B的坐标然后可得直线BC 的方程．‎ ‎【详解】‎ 由及AC边上的高BH所在的直线方程 得AC所在直线方程为 又AB边上的中线CM所在直线方程为 由得 设，又是AB的中点，则 由已知得得 又得直线BC的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．‎ ‎18．如图，在长方体中，，，点E是线段AB的中点．‎ 求证：；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】由已知可得平面ABCD，得到求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面从而得到；由底面ABD，得 到平面AEC的距离为再求出三角形AEC的面积，则三棱锥的体积可求．‎ ‎【详解】‎ 证明：平面ABCD，平面ABCD，．‎ 在中，，，，‎ 同理，则有，‎ ‎，即，‎ 又，平面．‎ 又平面，‎ ‎；‎ 解：底面ABD，‎ ‎ 到平面AEC的距离为．‎ ‎，‎ 从而．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查棱锥的体积公式的应用，是中档题．‎ ‎19．已知圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A、B两点．‎ 当l经过圆心C时，求直线l的方程； 写一般式 当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可．‎ ‎（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．‎ 试题解析：‎ ‎（1）已知圆的圆心为，因直线过点，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，圆的半径为，弦的长为.‎ ‎20．已知抛物线：与圆：的两个交点之间的距离为4．‎ 求p的值；‎ 设过抛物线的焦点F且斜率为2的直线与抛物线交于A，B两点，求．‎ ‎【答案】(1)p=2；(2)5‎ ‎【解析】设交点为E，易知，，代入得，；直线的方程为，分别于抛物线联立，根据韦达定理和抛物线的性质即可求出．‎ ‎【详解】‎ 设交点为E，易知，，‎ 代入得，，‎ 由知，抛物线抛物线：．‎ 直线AB的方程为，‎ 设，‎ 联立得，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点且长轴长为4．‎ 求椭圆E的方程：‎ Ⅱ若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D两点，求与的面积之差的绝对值的最大值为坐标原点 ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得2a=4，2a=c，解得a=2，b2=3（2）两面积底相同，都为定值2，高为D,C纵坐标绝对值，所以两面积之差的绝对值等于丨y1+y2丨，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理化简丨y1+y2丨，最后根据基本不等式求最值 试题解析:解：（Ⅰ）由题意得2a=4，即a=2，‎ ‎2a=c，即c=1，‎ 又b2=a2﹣c2，‎ ‎∴b2=3‎ 故椭圆E的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设△OAD的面积为S1，△OAC的面积为S2，‎ 设直线l的方程为x=ky﹣1，C（x1，y1），D（x2，y2）‎ ‎∴由，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，‎ ‎∴由韦达定理可知：y1+y2=，‎ ‎∴∴丨S1﹣S2丨=×2×丨丨y1丨﹣丨y2丨丨=丨y1+y2丨=，‎ 当k=0时，丨S1﹣S2丨=0，‎ 当k≠0时，丨S1﹣S2丨=≤=（当且仅当3丨k丨=，即k=±时等号成立）．‎ ‎∴丨S1﹣S2丨的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎22．已知函数，，‎ 若，求函数的极值；‎ 设函数，求函数的单调区间．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）的定义域为，当时，，利用导数研究函数的极值可知在处取得极小值1．函数没有极大值．‎ ‎（2）由函数的解析式可知，，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，‎ 当时，，，‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1．函数没有极大值．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎①当时，即时，‎ 在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，在上，‎ 所以函数在上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎