数学文卷·2018届安徽省亳州市蒙城县第一中学高三上学期第五次月考（2018

数学文卷·2018届安徽省亳州市蒙城县第一中学高三上学期第五次月考（2018

‎2017-2018学年度高三第五次月考数学（文科）试卷 注意事项：‎ 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写在答题卡上.‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则集合 （ )‎ A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎2.已知为虚数单位，若，则（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎3.命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件，则（　　）‎ A．“p∨q”为假 B．“p∧q”为真 C．￢p为假 D．￢q为假 ‎4.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A.9万件 B.11万件 C.12万件 D.13万件 ‎5.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（　　）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B． C．5 D．2‎ ‎6.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎7.执行如图所示的算法，则输出的结果是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8.若1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，则x﹣2y的最大值与最小值之和是（　　）‎ A．0 B．﹣2 C．2 D．6‎ ‎9.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜‎ ‎），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称 C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称 D．函数f（x）在[，π]上单调递增 ‎10.圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（　　）‎ A． B． C．k≥2 D．‎ ‎11.给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12.已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是　　． ‎ ‎14.△ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为　　．‎ ‎15.已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 ‎ ‎16.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，又知f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示：‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 则下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）的极大值点为2； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；‎ ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是　　．‎ 三、解答题（本题共5道题,第17题12分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,共计60分）‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ） 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．‎ ‎18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an﹣3，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前项和Tn．‎ ‎19.第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了做好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱．‎ ‎（1）根据以上数据完成2×2列联表：‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎10‎ ‎16‎ 女 ‎6【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎14‎ 总计 ‎30‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？‎ ‎（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是多少？‎ 附：K2=‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎21.已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．‎ 四.选做题(考生在22,23题选一题作答,共10分)‎ ‎22.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎23.已知函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中实数a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥4x+6的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣2}，求a的值．‎ 试卷答案【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1.C2.B3.C4.A5.C6.B7.A8.C9.D10.B11.C12.D ‎13.x2﹣y2=114.15.16.②‎ ‎17.【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，‎ 由正弦定理，‎ 得．… 6’‎ ‎（Ⅱ） 由得，，‎ ‎ 由得，， 8’‎ 则，‎ 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）． 10’‎ 所以． … 12’‎ ‎18.【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）依题意，当n=1时，2S1=2a1=3a1﹣3，故a1=3．当n≥2时，2Sn=3an﹣3，2Sn﹣1=3an﹣1﹣3，两式相减整理得an=3an﹣1， 4’【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故… 6’‎ ‎（2）=． 9’‎ 故=… 12’‎ ‎19.【解答】解：（1）2×2 列联表如下： 3’‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 女 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 总计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ ‎ （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：‎ k=≈1.1575＜2.706；‎ 因此，在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． 7’‎ ‎（3）喜欢运动的女志愿者有6 人，设分别为A，B，C，D，E，F，其中 A，B，C，D 会外语，‎ 则从这6人中任取2人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种取法，‎ 其中两人都会外语的有AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种． 10’‎ 故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是P==0.4． 12’ ‎ ‎20.【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，‎ ‎∴AB⊥PA，CD⊥PD，‎ 又AB∥CD，∴AB⊥PD，‎ ‎∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD， 4’‎ ‎∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． 6’‎ 解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，‎ ‎∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=， 8’‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，‎ ‎∴VP﹣ABCD=‎ ‎====，‎ 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=， 10’‎ ‎∴PB=PC==2，‎ ‎∴该四棱锥的侧面积：‎ S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC ‎=+++‎ ‎=‎ ‎=6+2． 12’‎ ‎21.【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p， 2’‎ 又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，‎ ‎∴p的值； 5’‎ ‎（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，‎ 当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），‎ 则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，‎ ‎∴kAM•kBM=×=﹣． 7’‎ 当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=， 9’‎ kAM•kBM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），‎ 联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣， 11’‎ 故kAM•kBM===﹣，‎ 综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣． 12’‎ ‎22.【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ 依题意有：f'（2）=0，即，‎ 解得： 2’‎ 检验：当时，‎ 此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，‎ 满足在x=2时取得极值 综上：． 4’‎ ‎（Ⅱ）依题意有：fmin（x，）≥0‎ ‎， 5’‎ 令f′（x）=0，‎ 得：x1=2a﹣1，x2=1，‎ ‎①当2a﹣1≤1即a≤1时，‎ 函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，‎ 则f（x）在[1，+∞）单调递增，‎ 于是fmin（x）=f（1）=2﹣2a≥0，‎ 解得：a≤1； 8’‎ ‎②当2a﹣1＞1即a＞1时，‎ 函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，‎ 于是fmin（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，‎ 此时：a∈Φ； 11’‎ 综上所述：实数a的取值范围是a≤1． 12’‎ ‎23.【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，‎ 得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2﹣y2① 5’‎ ‎（2）把直线参数方程（t为参数） ②‎ 把②代入①得：整理，得t2﹣4t﹣6=0 8’‎ 设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=﹣6‎ 从而弦长为． 10’‎ ‎24.【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥4x+6可化为|2x﹣3|≥﹣x+6，2x﹣3≥﹣x+6或2x﹣3≤x﹣6．‎ 由此可得x≥3或x≤﹣3．‎ 故不等式f（x）≥4x+6的解集为{x|x≥3或x≤﹣3}．… 5’‎ ‎（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）‎ 由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于或 解之得或 因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．… 10’‎ 法二：（从等价转化角度考虑）‎ 由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等价于5x≤2x﹣a≤﹣5x，‎ 即为不等式组解得 因为a＞0，所以不等式组的解集为，由题设可得，故a=6．… 10’‎