2018届二轮复习 分类讨论思想 课件（全国通用）
二、分类讨论思想
-
2
-
高考命题聚焦
思想方法诠释
从近五年的高考试题来看
,
分类讨论思想在高考试题中频繁出现
,
已成为高考数学试题的一个热点
,
也是高考的难点
.
高考中经常会有几道题
,
解题思路直接依赖于分类讨论
,
特别在解答题中
(
尤其是导数与函数
)
常有一道分类求解的压轴题
,
选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题
.
-
3
-
高考命题聚焦
思想方法诠释
1
.
分类讨论思想的含义
分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时
,
需要把研究对象按某个标准分类
,
然后对每一类分别研究
,
得出每一类的结论
,
最后综合各类结果得到整个问题的答案
.
对问题实行分类
,
分类标准等于是增加的一个已知条件
,
实现了有效增设
,
将大问题分解为小问题
,
优化了解题思路
,
降低了问题难度
.
-
4
-
高考命题聚焦
思想方法诠释
2
.
分类讨论思想在解题中的应用
(1)
由数学概念引起的分类讨论
;
(2)
由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
;
(3)
由数学运算要求引起的分类讨论
;
(4)
由图形的不确定性引起的分类讨论
;
(5)
由参数的变化引起的分类讨论
;
(6)
由实际意义引起的分类讨论
,
特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用
.
-
5
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
根据数学概念的分类讨论
【思考】
在中学数学中
,
哪些概念会引起分类讨论
?
例
1
设
0
0,
且
a
≠1,
比较
|
log
a
(1
-x
)
|
与
|
log
a
(1
+x
)
|
的大小
.
答案
答案
关闭
∵
0
1,0
<
1
-x
2
<
1
.
①
当
0
0,log
a
(1
+x
)
<
0
.
|
log
a
(1
-x
)
|-|
log
a
(1
+x
)
|=
log
a
(1
-x
)
-
[
-
log
a
(1
+x
)]
=
log
a
(1
-x
2
)
>
0;
②
当
a>
1
时
,log
a
(1
-x
)
<
0,log
a
(1
+x
)
>
0
.
|
log
a
(1
-x
)
|-|
log
a
(1
+x
)
|=-
log
a
(1
-x
)
-
log
a
(1
+x
)
=-
log
a
(1
-x
2
)
>
0
.
由
①②
可知
,
|
log
a
(1
-x
)
|>|
log
a
(1
+x
)
|.
-
6
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思
有许多核心的数学概念是分类的
,
由数学概念引起的分类讨论
,
如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等
.
-
7
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练
1
若
函数
(
a>
0,
且
a
≠1)
的值域是
[4,
+∞
),
则实数
a
的取值范围是
.
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
-
8
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
根据运算、定理、公式进行的分类讨论
【思考】
哪些运算的要求或性质、定理、公式的条件会引起分类讨论
?
例
2
设直线
l
与抛物线
y
2
=
4
x
相交于
A
,
B
两点
,
与圆
(
x-
5)
2
+y
2
=r
2
(
r>
0)
相切于点
M.
且
M
为线段
AB
的中点
,
若这样的直线
l
恰有
4
条
,
则
r
的取值范围是
(
)
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3) D.(2,4)
D
-
9
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
-
10
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思
1
.
在中学数学中
,
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性
,
基本不等式
,
等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论
,
或者在一定的限制条件下才成立
,
应根据题目条件确定是否进行分类讨论
.
2
.
有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的
.
比如除法运算中分母能否为零的讨论
;
解方程及不等式时
,
两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论
;
二次方程运算中对两根大小的讨论
;
求函数单调性时
,
导数正负的讨论
;
排序问题
;
差值比较中的差的正负的讨论
;
有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等
.
-
11
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练
2
若函数
f
(
x
)
=a
x
-x-a
(
a>
0,
且
a
≠1)
有两个零点
,
则实数
a
的取值范围是
.
答案
解析
解析
关闭
设函数
y=a
x
(
a>
0,
且
a
≠1)
和函数
y=x+a
,
则函数
f
(
x
)
=a
x
-x-a
有两个零点
,
就是函数
y=a
x
与函数
y=x+a
的图象有两个交点
.
由图象
(
图略
)
可知
,
当
0
1
时
,
因为函数
y=a
x
(
a>
1)
的图象过点
(0,1),
而直线
y=x+a
所过的点一定在点
(0,1)
的上方
,
所以一定有两个交点
.
故实数
a
的取值范围是
(1,
+∞
)
.
答案
解析
关闭
(1,
+∞
)
-
12
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
根据图形位置或形状变动分类讨论
【思考】
由图形的位置或形状变动引发的讨论有哪些
?
例
3
若
x
,
y
满足
且
z=y-x
的最小值为
-
4,
则
k
的值为
(
)
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
-
13
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思
一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括
:
二次函数对称轴位置的变动
;
函数问题中区间的变动
;
函数图象形状的变动
;
直线由斜率引起的位置变动
;
圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动
;
立体几何中点、线、面的位置变动等
.
-
14
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练
3
设
F
1
,
F
2
为
椭圆
的
两个焦点
,
P
为椭圆上一点
.
已知
P
,
F
1
,
F
2
是一个直角三角形的三个顶点
,
且
|PF
1
|>|PF
2
|
,
则
的
值为
.
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
-
15
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
根据字母的取值情况分类讨论
【思考】
题目中含有参数的分类讨论问题主要有哪些
?
求解的一般思路是什么
?
例
4
已知函数
f
(
x
)
=a
e
2
x
-b
e
-
2
x
-cx
(
a
,
b
,
c
∈
R
)
的导函数
f'
(
x
)
为偶函数
,
且曲线
y=f
(
x
)
在点
(0,
f
(0))
处的切线的斜率为
4
-c.
(1)
确定
a
,
b
的值
;
(2)
若
c=
3,
判断
f
(
x
)
的单调性
;
(3)
若
f
(
x
)
有极值
,
求
c
的取值范围
.
-
16
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
解：
(1)
对
f
(
x
)
求导
,
得
f'
(
x
)
=
2
a
e
2
x
+
2
b
e
-
2
x
-c
,
由
f'
(
x
)
为偶函数
,
知
f'
(
-x
)
=f'
(
x
),
即
2(
a-b
)(e
2
x
-
e
-
2
x
)
=
0,
所以
a=b.
又
f'
(0)
=
2
a+
2
b-c=
4
-c
,
故
a=
1,
b=
1
.
(2)
当
c=
3
时
,
f
(
x
)
=
e
2
x
-
e
-
2
x
-
3
x
,
故
f
(
x
)
在
R
上为增函数
.
-
17
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
当
x
1
x
2
时
,
f'
(
x
)
>
0,
从而
f
(
x
)
在
x=x
2
处取得极小值
.
综上知
,
若
f
(
x
)
有极值
,
则
c
的取值范围为
(4,
+∞
)
.
-
18
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思
含有参数的分类讨论问题主要包括
:(1)
含有参数的不等式的求解
;(2)
含有参数的方程的求解
;(3)
函数解析式中含参数的最值与单调性问题
;(4)
二元二次方程表示曲线类型的判定等
.
求解这类问题的一般思路是
:
结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论
.
讨论时
,
应全面分析参数变化引起结论的变化情况
,
参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想
.
-
19
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
对点训练
4
已知函数
f
(
x
)
=
2
x
3
-
3
x.
(1)
求
f
(
x
)
在区间
[
-
2,1]
上的最大值
;
(2)
若过点
P
(1,
t
)
存在三条直线与曲线
y=f
(
x
)
相切
,
求
t
的取值范围
.
-
20
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
设
g
(
x
)
=
4
x
3
-
6
x
2
+t+
3,
则
“
过点
P
(1,
t
)
存在三条直线与曲线
y=f
(
x
)
相切
”
等价于
“
g
(
x
)
有
3
个不同的零点
”
,
g'
(
x
)
=
12
x
2
-
12
x=
12
x
(
x-
1),
g
(
x
)
与
g'
(
x
)
的情况如下
:
所以
,
g
(0)
=t+
3
是
g
(
x
)
的极大值
,
g
(1)
=t+
1
是
g
(
x
)
的极小值
,
当
g
(0)
=t+
3
≤
0,
即
t
≤
-
3
时
,
g
(
x
)
在区间
(
-
∞
,1]
和
(1,
+
∞
)
上分别至多有
1
个零点
,
所以
g
(
x
)
至多有
2
个零点
,
当
g
(1)
=t+
1
≥
0,
即
t
≥
-
1
时
,
g
(
x
)
在区间
(
-
∞
,0)
和
[0,
+
∞
)
上分别至多有
1
个零点
,
所以
g
(
x
)
至多有
2
个零点
.
-
21
-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
当
g
(0)
>
0,
且
g
(1)
<
0,
即
-
3
0,
所以
g
(
x
)
分别在区间
[
-
1,0),[0,1)
和
[1,2)
上恰有
1
个零点
,
由于
g
(
x
)
在区间
(
-
∞
,0)
和
(1,
+
∞
)
上单调
,
所以
g
(
x
)
分别在区间
(
-
∞
,0)
和
[1,
+
∞
)
上恰有
1
个零点
.
综上可知
,
当过点
P
(1,
t
)
存在
3
条直线与曲线
y=f
(
x
)
相切时
,
t
的取值范围是
(
-
3,
-
1)
.
-
22
-
规律总结
拓展演练
1
.
简化分类讨论的策略
:(1)
消去参数
;(2)
整体换元
;(3)
变更主元
;(4)
考虑反面
;(5)
整体变形
;(6)
数形结合
;(7)
缩小范围等
.
2
.
分类讨论遵循的原则是
:
不遗漏、不重复
,
科学地划分
,
分清主次
,
不越级讨论
.
3
.
解题时把好
“
四关
”
.
(1)
要深刻理解基本知识与基本原理
,
把好
“
基础关
”;
(2)
要找准划分标准
,
把好
“
分类关
”;
(3)
要保证条理分明
,
层次清晰
,
把好
“
逻辑关
”;
(4)
要注意对照题中的限制条件或隐含信息
,
合理取舍
,
把好
“
检验关
”
.
-
23
-
规律总结
拓展演练
1
.
下列命题正确的是
(
)
A.
若两条直线和同一个平面所成的角相等
,
则这两条直线平行
B.
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等
,
则这两个平面平行
C.
若一条直线平行于两个相交平面
,
则这条直线与这两个平面的交线平行
D.
若两个平面都垂直于第三个平面
,
则这两个平面平行
答案
解析
解析
关闭
两条直线和同一平面所成的角相等
,
这两条直线可能平行
,
也可能异面
,
也可能相交
,
所以
A
错
;
两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等
,
故
B
错
;
若两个平面都垂直于同一个平面
,
两平面可以平行
,
也可以相交
,
故
D
错
;
选项
C
正确
.
答案
解析
关闭
C
-
24
-
规律总结
拓展演练
2
.
设常数
a>
0,
椭圆
x
2
-a
2
+a
2
y
2
=
0
的长轴长是短轴长的
2
倍
,
则
a
等于
(
)
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
-
25
-
规律总结
拓展演练
3
.
已知线段
AB
和平面
α
,
A
,
B
两点到平面
α
的距离分别为
1
和
3,
则线段
AB
的中点到平面
α
的距离为
.
答案
解析
解析
关闭
此题分线段
AB
两端点在平面同侧和异侧两种情况
,
答案为
1
或
2
.
答案
解析
关闭
1
或
2
-
26
-
规律总结
拓展演练
4
.
已知函数
f
(
x
)(
x
∈
R
)
满足
a
≠0,
f
(1)
=
1,
且使
f
(
x
)
=
2
x
成立的实数
x
只有一个
,
求函数
f
(
x
)
的表达式
.
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
