山东省平度市第九中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

山东省平度市第九中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

数学试卷 本试卷共4页，23题．全卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，请将答题卡上交。‎ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．双曲线的虚轴长为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知直线与直线平行，则（ ）‎ ‎ A． B． C．或 D．‎ ‎4．观察数列，则该数列的第项为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知正项等比数列的前项和为，，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（ ）‎ ‎ A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆．设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，则卫星轨道的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知直线与圆相交于两点，若，则实数（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎11．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．椭圆方程为 B．椭圆方程为 ‎ ‎ C． D．的周长为 ‎13．已知抛物线的焦点为，直线斜率为，且经过点，直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）‎ ‎ A． B．为中点 C． D． ‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14．若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是 ．‎ ‎15．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率 ．‎ ‎16．已知等差数列的首项为，公差不为零，若成等比数列，则数列的前项和为 ．‎ ‎17．已知圆上一动点，定点，轴上一点，则 的最小值为 ．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明：．‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求经过点且与圆恰有个公共点的直线的方程．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 已知为坐标原点，点和点，动点满足：．‎ ‎（1）说明动点的轨迹是何种曲线并求曲线的方程； ‎ ‎（2）若抛物线的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程．‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 已知为坐标原点，定点，定直线，动点到直线的距离为，且满足：． ‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．‎ ‎22．（本题满分14分）‎ 已知数列的前项和为，，，．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）已知曲线，若为椭圆，求的值；‎ ‎（3）若，求数列的前项和．‎ ‎23．（本题满分14分）‎ 已知为坐标原点，椭圆上顶点为，右顶点为，离心率，圆与直线相切．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为椭圆上的三个动点，直线的斜率分别为．‎ ‎（ⅰ）若的中点为，求直线的方程；‎ ‎（ⅱ）若，证明：直线过定点．‎ 答案及评分标准 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．‎ A C B D B C D A A B ‎ 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．‎ ‎11．ABC； 12．ACD； 13．ABC.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14．； 15．； 16．； 17．.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 因为，所以， 2分 解得 4分 所以数列的通项公式为： 6分 ‎（2）由（1）知： 9分 所以 12分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解: （1）由题意得，直线的斜率， 中点的坐标为， 2分 所以中垂线的方程为，即为 4分 由得，圆心，所以 所以圆的标准方程为： 6分 ‎（2）①若所求直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意 8分 ‎②若所求直线的斜率存在，设为 则所求直线方程为：，即为 9分 因为该直线与圆恰有个公共点，‎ 所以圆心到直线距离，解得 12分 此时，直线方程为 13分 由①②得，所求直线方程为：或 14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为 所以，由双曲线的定义得：是以，为焦点的双曲线的右支 3分 又，，所以 ‎ 所以曲线的方程为： 6分 ‎（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为： 7分 设直线 8分 由得， 9分 设，‎ 由韦达定理得，‎ 由抛物线的定义知：‎ 所以 12分 解得 13分 所以直线的方程为：或 14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）设点，由题知：， 2分 所以 整理得点的轨迹方程为： 4分 ‎（2）由得， 5分 设，，则， 6分 由得， 7分 ‎ 10分 点到直线的距离 11分 所以 12分 ‎（当且仅当时等号成立，满足）‎ 所以面积最大值为 14分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为，‎ 所以， 3分 所以，数列是首项为且公比为的等比数列 4分 ‎（2）由（1）知：，所以 5分 当时，；‎ 又适合上式； ‎ 所以 7分 因为曲线表示椭圆 所以且，即且 解得或 9分 ‎（3）由题知： 10分 所以 ‎ ‎ 所以 12分 所以，所以 14分 ‎23. （本小题满分14分）‎ 解:（1）由题意，直线的方程为： ，即为 因为圆与直线相切，所以， ① 2分 设椭圆的半焦距为，因为 ，，所以 ② 3分 由①②得： ，所以椭圆的标准方程为： 4分 ‎（2）设，， ‎ ‎（ⅰ）因为在椭圆上，所以 5分 两式做差得： 6分 整理得： 7分 因为的中点为，所以，，‎ 所以此时直线的方程为： 8分 ‎（ⅱ）设直线，设直线 由得： 9分 所以 10分 同理：，因为，所以 11分 所以 12分 设直线的方程为：，由得：‎ 所以，所以 13分 所以直线过定点 14分