福建省永春第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

福建省永春第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

永春一中高二年下学期期末考数学(文)科试卷（2019.07）‎ 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．若a、b、，，则下列不等式成立的是（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 算得，K2≈7.8．参照附表，得到的正确结论是（　 　）‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” ‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数，又是以为最小正周期的函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．在△ABC中， 若,则△ABC一定是（　　）‎ ‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎6．观察下列各式：的末 两位数字为（　 ）‎ ‎ A．49 B．‎43 C．07 D．01‎ ‎7．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，有（　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎ ‎8．已知α，β∈（0，），cosα＝，cos（α+β）＝ ，则β＝（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．在正方体中，E为棱CD的中点，则异面直线与所成的角为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．前三个答案都不对 ‎12．以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为，当面积取最大时，腰长为（ ）‎ A. B. C. D．前三个答案都不对 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。‎ ‎13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎(1)sin212°＋cos218°－sin12°cos18°； ‎ ‎(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； ‎ ‎(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. 则常数 ．‎ ‎14‎ ‎．某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：‎ 得出下面四个结论：‎ ‎ ①甲同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前 ‎ ②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ‎ ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 ‎ ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________．‎ ‎15．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积 为，则四面体A一BCD外接球的表面积为________．‎ ‎16．正三棱柱中，所有棱长均为2，点 分别为棱的中点，若过点作一截面，‎ ‎ 则截面的周长为  ．‎ ‎ ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 请在答题卡各自题目的答题区域内作答。‎ ‎17． (本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数的一系列对应值如下表：‎ ‎ （Ⅰ）求的解析式；‎ ‎ （Ⅱ）若为锐角三角形，且，，，求的面积．‎ ‎18．(本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，‎ ‎，E，F分别是PC，AD的中点．‎ 求证：（1）BE⊥CD； ‎ ‎ （2）EF∥平面PAB．‎ A B C D P E F ‎（第18题）‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ ‎ 保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：‎ 距消防站距离x（千米）‎ ‎1.8‎ ‎2.6‎ ‎3.1‎ ‎4.3‎ ‎5.5‎ ‎6.1‎ 火灾损失费用y（千元）‎ ‎17.8‎ ‎19.6‎ ‎27.5‎ ‎31.3‎ ‎36.0‎ ‎43.2‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数r（精确到0.01）说明y与x之间具有线性相关关系；‎ ‎（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；‎ ‎（III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距‎10.0千米，请你评估一下火灾的损失（精确到0.01）．‎ 参考数据： ，‎ 参考公式：相关系数r＝，线性回归方程，‎ ‎ 其中， ）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．‎ ‎ （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点G（0，）的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存 在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说 明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）证明：，都有；‎ ‎（3）若，且，求证：.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P(x，y)是直线l与圆面的公共点，求x＋y的取值范围．‎ ‎23．[选修4---5:不等式选讲] （10分）‎ ‎ 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎（1）当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．‎ 永春一中高二年下学期期末考数学(文)科试卷（2019.07）‎ 参考答案 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C D A B D B A D A C 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎ 13．； 14．①③ ； 15．； 16．．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。‎ ‎17． 解：（Ⅰ）由表格信息可知，函数的周期为，所以． ‎ ‎ 注意到，也即， 又，所以，‎ ‎ 所以函数的解析式为 ‎ （或者）. …… 6分 ‎ （Ⅱ）∵，为锐角三角形，∴，‎ ‎ 由余弦定理得 ， ‎ ‎ ∴．…… 12分 ‎ （注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）．‎ ‎18．(本小题满分12分）‎ ‎（1）在△PBC中，因为，E是PC的中点，‎ ‎ 所以BE⊥PC． ‎ ‎ 又因为平面BPC⊥平面DPC，‎ ‎ 平面BPC平面DPC，平面BPC，‎ ‎ 所以BE⊥平面PCD． ‎ ‎ 又因为平面DPC，‎ ‎ 所以BE⊥CD． …… 6分 ‎ （2）取PB的中点H，连结EH，AH．在△PBC中，又因为E是PC的中点，‎ ‎ 所以HE∥BC，． ‎ ‎ 又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，‎ ‎ 所以AF∥BC，．所以HE∥AF，，‎ ‎ 所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA．‎ ‎ 又因为平面PAB，平面PAB，‎ ‎ 所以EF∥平面PAB． …… 12分 ‎19．(本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ， 说明y与x之间具有较强的线性相关 …………………（3分）‎ ‎（Ⅱ）依题意得 ‎ ‎ 所以， …（6分）‎ 又因为 （7.32，7.33均给分）…（8分）‎ 故线性回归方程为 （+7.32或7.33均给分）…（9分）‎ ‎（III）当x＝10时，根据回归方程得（63.52或63.53均给分），‎ 发生火灾的某居民区与最近的消防站相距‎10.0千米，火灾的损失63.51千元．……（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：(I)由题意得 ‎ 点的轨迹为以为焦点的椭圆. ‎ 点的轨迹的方程为………4分 ‎(II)当直线的斜率存在，可设方程为，设 联立可得 由求根公式化简整理得 假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则 ‎， 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得 求得定点 ‎ 当直线的斜率不存在，以为直径的圆也过点.‎ ‎ 故在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.……………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1） ，，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减． ‎ ‎①当，即时，时单调递减，故；‎ ‎②当，即时，时单调递增，；‎ ‎③当时，在单调递增，在单调递增减，‎ ‎．‎ 综上 ………………………………………4分 ‎（2）设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，又，‎ ‎∴，在上单调递增.‎ ‎∴，‎ 即 ………………………………………8分 ‎（3）当时，单调递增， 当时，单调递减，‎ 若，且， 所以不妨设，‎ 令， 则，‎ 由(2)得， ∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴，即． ……………………………………12分 ‎22．解　(1)因为圆C的极坐标方程为，‎ 所以.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0. …… 5分 ‎(2)设z＝x＋y，由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，‎ 得(x＋1)2＋(y－)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.‎ 将代入到z＝x＋y，得z＝－t.‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，‎ 即x＋y的取值范围是[－2,2]．…… 10分 另：由直线l与圆C得－1－≤x≤－1＋，x＋y=(x＋1) [－2,2]. …… 10分 ‎23．解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.…… 5分 ‎(2)由题设可得，f 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 ‎，B(‎2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)．…… 10分