2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§7-2 简单的线性规划（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§7-2 简单的线性规划（讲解部分）

专题七　不等式 §7.2 　简单的线性规划 高考文数 考点一　平面区域问题 考点清单 考向基础 1.在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax + By + C =0( A , B 不同时为 0)分成三类: (1)满足 Ax + By + C =0的点; (2)满足 Ax + By + C >0的点; (3)满足 Ax + By + C <0的点. 2. Ax + By + C >0(或 Ax + By + C <0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C =0某 一侧所有点组成的 平面区域 ,且不含边界,作图时边界应画成 虚线 ;在坐标 系中画不等式 Ax + By + C ≥ 0(或 Ax + By + C ≤ 0)所表示的区域时,此区域的边 界应画成 实线 . 【知识拓展】 判断 Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域在直线的哪一侧的方法: (1)当 C ≠ 0时,取原点(0,0),当原点坐标使 Ax + By + C ≥ 0成立时,就是含原点的 区域;不成立时,就是不含原点的区域. (2)当 C =0时,取(0,1)或(1,0),当不等式成立时,就是含所取点的一侧;不成立 时,是另一侧. 考向一　求平面区域的面积 考向突破 例1    (2020届甘肃兰州重点中学10月联考,14)设 x , y 满足约束条件   则在平面直角坐标系中对应的可行域面积为 　　　     . 解析　画出可行域,如图中阴影部分所示,则可行域的面积为△ ABC 的面 积,易求得 A   , B   , C (-1,1),则 S △ ABC =   ×   ×   =   .   答案       考向二　根据二元一次不等式组表示的平面区域求参数范围 例2    (2020届黑龙江齐齐哈尔10月调研,7)若不等式组   表示的区 域是一个三角形区域,则 a 的取值范围是   (　　) A. a ≥   　     B.0< a ≤ 1 C.1 ≤ a ≤   　    D.0< a ≤ 1或 a ≥   解析　作出不等式组   所表示的平面区域,如图中阴影部分所示. 作基本直线 l 0 : x + y =0,将其沿 y 轴向上平移,当过点 B (1,0)时,原不等式组所表 示的可行域仍是一个含点 B 的三角形区域;继续向上平移,当直线过点 A   ,即 a =   时,原不等式组所表示的平面区域再次变为一个三角形区域, 结合图形,可知0< a ≤ 1或 a ≥   ,故选D.   答案    D 考向基础 1.线性规划中的基本概念 名称 意义 线性约束条件 由关于 x , y 的 一次 不等式组成的不等式组 目标函数 关于 x , y 的 函数解析式 线性目标函数 关于 x , y 的 一次函数 解析式 可行解 满足线性约束条件的解 ( x , y ) 可行域 所有可行解组成的 集合 最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 考点二　线性规划问题 【知识拓展】 1.线性目标函数 z = Ax + By 的最值与 B 的符号的关系 当 B >0时,直线过可行域且在 y 轴上的截距最大时, z 值最大;在 y 轴上的截距 最小时, z 值最小.当 B <0时,直线过可行域且在 y 轴上的截距最小时, z 值最大; 在 y 轴上的截距最大时, z 值最小. 2.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线, 并确定原不等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交集. (2)作出目标函数的等值线. (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问 题有唯一最优解,或者有无穷最优解,或者无最优解. 考向突破 考向一　求线性目标函数的最值(取值范围) 例3    (2018课标全国Ⅲ,15,5分)若变量 x , y 满足约束条件   则 z = x +   y 的最大值是 　　　     . 解析　解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.   z = x +   y 可化为 y =-3 x +3 z . 求 z 的最大值可转化为求直线 y =-3 x +3 z 纵截距的最大值, 显然当直线 y =-3 x +3 z 过 A (2,3)时,纵截距最大, 故 z max =2+   × 3=3. 解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标 分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知 z max =2+   × 3=3. 答案　3 例4    (2020届河南中原联盟第二次联考,8)若 x , y 满足约束条件   则 x 2 + y 2 +2 y 的最大值为   (　　) A.4　    B.   -1　    C.16　    D.17 考向二　求非线性目标函数的最值(取值范围) 解析　本题考查非线性规划问题.根据约束条件画出可行域,如图所示,令 z = x 2 + y 2 +2 y = x 2 +( y +1) 2 -1,其几何意义为可行域内的点到定点(0,-1)的距离的 平方再减去1,由图可知可行域中点 A 到(0,-1)的距离最大,由   解得   所以点 A (1,3)到点(0,-1)的距离为   =   ,所以 z max =17-1= 16.   答案    C 例5    (2020届江西金太阳大联考,16)外地务工人员小明准备回家乡创业, 他从当地银行贷款9万元作为创业基金,并在当地承包了一块300亩的耕地, 承包费用为20万元(此笔费用可在获得收益后再支付),计划种植甲、乙两 个品种的蔬菜.当年种植甲、乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩, 预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3 000元/亩 和2 000元/亩的收益,则合理分配资源后,当年能带来的最大利润是 　     　     万元.(利润=总收益-承包费用) 考向三　线性规划的实际问题 解析　设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为 x 亩、 y 亩,利润为 z 万元, 根据题意,可列出不等式组   目标函数 z =0.3 x +0.2 y -20,将以 上不等式组化为   画出可行域,如图中阴影区域所示,由   解得   当目标函数图象经过点 M (75,225)时, z 取得最大 值, z max =0.3 × 75+0.2 × 225-20=47.5.故当年能带来的最大利润是47.5万元. 答案　47.5 方法1 　目标函数的最值(取值范围)问题的求解方法 1.求目标函数的最值(取值范围)的步骤: (1)画出可行域;(2)根据目标函数的 几何意义确定取得最优解的点;(3)求出目标函数的最大值或最小值(取值 范围) . 2.常见的目标函数:(1)截距型:形如 z = ax + by ( ab ≠ 0),可以转化为 y =-   x +   ,利 用直线在 y 轴上的 截距大小 确定目标函数的最值(取值范围);(2)距离型:形 如 z =( x - a ) 2 +( y - b ) 2 ,表示区域内的动点( x , y )与定点( a , b )连线的 距离的平方 ; (3)斜率型:形如 z =   ,表示区域内的动点( x , y )与定点( a , b ) 连线的斜率 . 方法技巧 例1    (2019天津,2,5分)设变量 x , y 满足约束条件   则目标函数 z = -4 x + y 的最大值为   (　　) A.2　    B.3　    C.5　    D.6 解析　本题主要考查简单的线性规划问题.通过求线性目标函数的最大值 考查学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养. 作出可行域(如图中阴影部分),   平移直线-4 x + y =0可知,目标函数 z =-4 x + y 在 P 点处取最大值, 由   得 P (-1,1).∴ z max =-4 × (-1)+1=5.故选C. 答案    C 例2    (2019安徽马鞍山一模,5)已知实数 x 、 y 满足   则 x 2 + y 2 的最大值 与最小值之和为   (　　) A.5　    B.   　    C.6　    D.7 解析　作出不等式组   表示的可行域如图,   x 2 + y 2 的几何意义是原点 O 到可行域内点的距离的平方, 由图可知, O 到直线 x + y -1=0的距离最小,为   . 可行域内的点 B 与坐标原点的距离最大,为   =   . ∴ x 2 + y 2 的最大值与最小值之和为5+   =   . 故选B. 答案    B 方法2 　线性规划的实际问题的求解方法 1.能建立线性规划模型的实际问题有:(1)给定一定量的人力、物力资源,使 完成的任务最多,收益最大;(2)给定一项任务,使完成这项任务耗费人力、 物力资源最少. 2.解决线性规划实际问题的一般步骤:(1)认真审题,设出未知数,写出线性 约束条件和目标函数;(2)画出可行域;(3)作出目标函数值为0时对应的直线 l 0 ;(4)在可行域内平行移动直线 l 0 ,从图中判断问题有唯一最优解或有无穷 最优解或无最优解;(5)求出最优解,从而得到目标函数的最值;(6)得到实际 问题的解,写出结论. 例3    (2017天津,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧 时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、 广告播放时长、收视人次如下表所示: 　　已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟, 广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧 播放次数的2倍.分别用 x , y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用 x , y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最 多? 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 解析　(1)由已知得, x , y 满足的数学关系式为   即   该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:   图1 (2)设总收视人次为 z 万,则目标函数为 z =60 x +25 y . 考虑 z =60 x +25 y ,将它变形为 y =-   x +   ,这是斜率为-   ,随 z 变化的一族平行 直线.   为直线在 y 轴上的截距,当   取得最大值时, z 的值最大.又因为 x , y 满 足约束条件,所以由图2可知,当直线 z =60 x +25 y 经过可行域上的点 M 时,截距   最大,即 z 最大.   图2 解方程组   得点 M 的坐标为(6,3). 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最 多.