2018届二轮复习（文科数学）考前冲刺活用16个二级结论学案（全国通用）

2018届二轮复习（文科数学）考前冲刺活用16个二级结论学案（全国通用）

活用16个二级结论 结论一　奇函数的最值性质 ‎　　已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.‎ 例1　设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　. ‎ 答案　2‎ 解析　f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.‎ 跟踪集训 ‎ 1.(1)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f=(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-1 B‎.0 ‎C.1 D.2‎ ‎(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(　　)‎ A.4和6 B.3和‎1 ‎ C.2和4 D.1和2‎ 结论二　 函数周期性问题 ‎　　已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.‎ 常见的与周期函数有关的结论如下:‎ ‎(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=‎2a.‎ ‎(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=‎2a.‎ ‎(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=‎2a.‎ ‎(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=‎6a.‎ 例2　已知定义在R上的函数f(x)满足f=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=(　　)‎ A.-2 B.‎-1 ‎C.0 D.1‎ 答案　A 解析　因为f=-f(x),‎ 所以f(x+3)=-f=f(x),则f(x)的周期T=3.‎ 则有f(1)=f(-2)=-1, f(2)=f(-1)=-1, f(3)=f(0)=2,‎ 所以f(1)+f(2)+f(3)=0,‎ 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)+f(2 016)-f(2 016)‎ ‎=672×[f(1)+f(2)+f(3)]-f(2 016)=-f(0+3×672)=-f(0)=-2,故选A.‎ 跟踪集训 ‎2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-2 B.‎-1 ‎C.0 D.1‎ ‎(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2 014)=(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎C.1 D.2‎ 结论三　函数的对称性 ‎　　已知函数f(x)是定义在R上的函数.‎ ‎(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.‎ 例3　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.[-3,-1] B.[-2,0]‎ C.[-5,-1] D.[-2,1]‎ 答案　B 解析　由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.‎ 跟踪集训 ‎3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　. ‎ ‎(2)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　. ‎ 结论四　反函数的图象与性质 ‎　　若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.‎ 例4　设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　)‎ A.1-ln 2 B.(1-ln 2)‎ C.1+ln 2 D.(1+ln 2)‎ 答案　B 解析　由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,如图所示,两曲线上点之间的最小距离恰好是y=x与y=ex图象上点的最小距离的2倍,设y=ex上点P0(x0,y0)处的切线与y=x平行,有=1,解得x0=ln 2,y0=1,所以y=x与y=ex图象上点的最小距离是(1-ln 2),故所求距离为(1-ln 2)×2=(1-ln 2),故选B.‎ 跟踪集训 ‎4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)‎ A. B‎.3 ‎ C. D.4‎ 结论五　两个对数、指数经典不等式 ‎　　1.对数形式:1-≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.‎ ‎2.指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.‎ 例5　设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥.‎ 证明　f(x)≥(x>-1)⇔1-e-x≥(x>-1)⇔1-≥e-x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤ex(x>-1).由经典不等式ex≥x+1(x∈R)恒成立可知x>-1时,ex≥x+1.即x>-1时, f(x)≥.‎ 跟踪集训 ‎5.(1)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.‎ 结论六　三点共线的充要条件 ‎　　设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.‎ 例6　已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为(　　)‎ A.{-1} B.⌀ C.{0} D.{0,-1}‎ 答案　A 解析　∵=-,‎ ‎∴x2+x+-=0,‎ 即=-x2+(1-x),‎ ‎∴-x2+(1-x)=1,‎ 即x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.‎ 跟踪集训 ‎6.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=　　　　. ‎ 结论七　三角形“四心”的向量形式 ‎　　设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||=.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔++=0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.‎ 例7　已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)‎ A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 答案　C 解析　取AB的中点D,则2=+,‎ ‎∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],‎ ‎∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]‎ ‎=+,而+=1,‎ ‎∴P,C,D三点共线,‎ ‎∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.‎ 跟踪集训 ‎7.(1)P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎(2)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 结论八　等差数列 ‎　　1.若Sm,S‎2m,S‎3m分别为等差数列{an}的前m项,前‎2m项,前‎3m项的和,则Sm,S‎2m-Sm,S‎3m-S‎2m成等差数列.‎ ‎2.若等差数列{an}的项数为‎2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S‎2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.‎ ‎3.若等差数列{an}的项数为‎2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S‎2m-1=(‎2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.‎ 例8　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)‎ A.3 B‎.4 ‎C.5 D.6‎ ‎(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S‎2m-1=38,则m等于　　　　. ‎ 答案　(1)C　(2)10‎ 解析　(1)解法一:∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,‎ ‎∴数列也为等差数列.‎ ‎∴+=,即+=0,解得m=5,经检验,m=5符合题意.故选C.‎ 解法二:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,‎ 得 ‎　　由①得a1=,代入②可得m=5.‎ ‎(2)因为数列{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,又S‎2m-1=38,所以am≠0,所以am=2,由S‎2m-1=38,即=38,即(‎2m-1)×2=38,解得m=10.‎ 跟踪集训 ‎8.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=　　　　. ‎ ‎(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　　　　. ‎ 结论九　等比数列 ‎　　已知等比数列{an},其公比为q,前n项和为Sn.‎ ‎(1)数列也为等比数列,其公比为.‎ ‎(2)若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.‎ ‎(3)若q≠1,则Sn===-·qn=λ-λ·qn.‎ ‎(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.‎ ‎(5)Sn,,,…仍为等比数列,公比为.‎ 例9　(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.或5 B.或‎5 ‎ C. D.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)‎ A.2 B. C. D.3‎ 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.‎ 所以有=,即9=1+q3.‎ 解得q=2.‎ 所以数列是首项为1,公比为的等比数列,其前5项和为=.故选C.‎ ‎(2)由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得S9=7S3,从而==.故选B.‎ 跟踪集训 ‎9.在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=,a3=,则++++=　　　　. ‎ 结论十　多面体的外接球和内切球 ‎　　1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.‎ ‎2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.‎ 例10　已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案　C 解析　当注入水的体积是该三棱锥体积的时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等),依题意,=,得x=2,易得小三棱锥的高为,设小球半径为r,则S底面·=4··S底面·r(S底面为小三棱锥的底面积),得r=,故小球的表面积S=4πr2=π.故选C.‎ 跟踪集训 ‎10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为(　　)‎ A. B.2 C.4 D.3‎ ‎(2)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(　　)‎ A. B.2π C. D.3π 结论十一　焦点三角形的面积公式 ‎　1.在椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF‎1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.‎ ‎2.在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF‎1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.‎ 例11　已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A. B. C.3 D.2‎ 答案　A　‎ 解析　设椭圆和双曲线的标准方程分别为+=1(a>b>0)和-=1(a1>0,b1>0,a>a1),它们的半焦距为c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b2tan=,∴b2=3.又消去b2和得a2+3=‎4c2,∴+=1,即+=1.设=2cos θ,=sin θ,则+=2cos θ+sin θ=sin≤,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为,故选A.‎ 跟踪集训 ‎11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且⊥.若△PF‎1F2的面积为9,则b=　　　　. ‎ 结论十二　圆锥曲线的切线问题 ‎　　1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.‎ ‎2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.‎ ‎3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).‎ ‎(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.‎ ‎(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.‎ ‎(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.‎ 例12　已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.‎ 解析　联立得 消去y,整理得x2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8×1=-16<0,‎ 故直线l与抛物线C相离.由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在直线方程为x0x=2(y+y0),即y=x0x-y0.‎ 跟踪集训 ‎12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)‎ A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0‎ C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0‎ ‎(2)设椭圆C:+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　. ‎ 结论十三　圆锥曲线的中点弦问题 ‎　　1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中:‎ ‎(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.‎ ‎　　(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.‎ ‎(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.‎ ‎[提醒]该结论常变形为:以椭圆+=1内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=-·.‎ ‎2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:‎ ‎(1)k0·k=.‎ ‎(2)k1·k2=.‎ ‎(3)k0·k=.‎ 例13　已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案　D 解析　如图所示,设P(1,-1),则有kAB·kOP=-.‎ 即-=kFP·kOP=×=-,即a2=2b2,故选D.‎ 跟踪集训 ‎13.(1)椭圆C:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是　　　　　　. ‎ ‎(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.‎ 结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题 ‎　　在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.‎ 图示 条件 结论 已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0‎ 直线AB的斜率kAB为定值 已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0‎ 直线AB的斜率kAB为定值-‎ 已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0‎ 直线AB的斜率kAB为定值-‎ ‎　　例14　已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.‎ 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k(k≠0),则kPB=-k,直线PA的方程为y-4=k(x-8),得y=kx+4-8k,联立得消y,得k2x2+(8k-16k2-2)x+(4-8k)2=0,8x1=,得x1=,同理可得x2=,则x2-x1=-==,x1+x2=×2=,因为y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,故y2-y1=-k(x1+x2)+16k=-k·+16k=,故kAB===-,所以直线AB的斜率kAB为定值,且为-.‎ 跟踪集训 ‎14.已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点且坐标为,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.‎ 结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题 ‎　　若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.‎ ‎(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.‎ ‎(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.‎ ‎(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).‎ 例15　已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.‎ 求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解析　由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消x,得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-‎2pt)2-4×(-2pm)×1=4p2t2+8pm>0,pt2+‎2m>0,①‎ 因为以AB为直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.‎ 当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;‎ 当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+‎2m>0.‎ 综上,lAB过定点(2p,0).‎ 跟踪集训 ‎15.已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.‎ 结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题 ‎　　AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.‎ ‎(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.‎ ‎(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A‎1A|·|BB1|.‎ ‎(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.‎ 例16　过抛物线y2‎ ‎=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.‎ 证明　证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM‎1A,∠NAN1=∠NN‎1A.‎ 因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM‎1A+∠MAM1+∠NN‎1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.‎ 证法二:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,‎ 故 于是x1+x2=m(y1+y2)+‎2a=‎2m2‎p+‎2a,③‎ x1·x2=·==a2.④‎ 当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,此时M1,N1,‎ 由②可得y1·y2=-p2.‎ 因为=(-p,y1),=(-p,y2),‎ 故·=0,即AM1⊥AN1.‎ 跟踪集训 ‎16.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=　　　　. ‎ 答案全解全析 结论一　奇函数的最值性质 跟踪集训 ‎1.(1)D　令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg=-lg 2,所以g(lg 2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.‎ ‎(2)D　令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,‎ 易证g(x)是奇函数.‎ 又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)- c=f(-1)+f(1)-‎2c,‎ 而g(-1)+g(1)=0,c为整数,‎ ‎∴f(-1)+f(1)=‎2c为偶数.‎ ‎1+2=3是奇数,故不可能,选D.‎ 结论二　 函数周期性问题 跟踪集训 ‎2.(1)D　由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.‎ ‎(2)C　当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①‎ 同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②‎ ‎①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.‎ 故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.‎ 结论三　函数的对称性 跟踪集训 ‎3.(1)答案　3‎ 解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.‎ ‎(2)答案　4‎ 解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+‎ f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.‎ 结论四　反函数的图象与性质 跟踪集训 ‎4.C　因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.‎ 如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.‎ 结论五　两个对数、指数经典不等式 跟踪集训 ‎5.(1)B　由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.‎ 令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.‎ ‎(2)证明　令g(x)=f(x)-=ex-x2-x-1,x∈R.g'(x)=ex-x-1,‎ 由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.‎ 结论六　三点共线的充要条件 跟踪集训 ‎6.答案　‎ 解析　解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++=0,得++=0,得λ+μ-1+=0.‎ 又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得 解得 所以λ+μ=.‎ 解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.‎ 由已知易得AB=AT,‎ ‎∴==λ+μ.‎ ‎∴=λ+μ,‎ ‎∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.‎ 结论七　三角形“四心”的向量形式 跟踪集训 ‎7.(1)D　由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.‎ ‎(2)C　设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.‎ ‎(3)B　解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=‎ ‎+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.‎ 解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.‎ 结论八　等差数列 跟踪集训 ‎8.(1)答案　90‎ 解析　(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.‎ ‎(2)答案　5‎ 解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.‎ 结论九　等比数列 跟踪集训 ‎9.答案　31‎ 解析　由等比数列的性质知,a‎1a5=a‎2a4=,则++++=++====31.‎ 结论十　多面体的外接球和内切球 跟踪集训 ‎10.(1)A　因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.‎ ‎(2)C　由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=. ‎ 结论十一　焦点三角形的面积公式 跟踪集训 ‎11.(1)D　设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF‎1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e====.故选D.‎ ‎(2)答案　3‎ 解析　在焦点三角形PF‎1F2中,⊥,‎ 故=|PF1||PF2|,‎ 又|PF1|2+|PF2|2=|F‎1F2|2,|PF1|+|PF2|=‎2a,‎ 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F‎1F2|2,‎4a2-2|PF1|·|PF2|=‎4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.‎ 结论十二　圆锥曲线的切线问题 跟踪集训 ‎12.(1)A　如图,圆心坐标为C(1,0),‎ 易知A(1,1).‎ 又kAB·kPC=-1,且kPC==,∴kAB=-2.‎ 故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,‎ 故选A.‎ ‎(2)答案　x+2y-4=0‎ 解析　由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.‎ 结论十三　圆锥曲线的中点弦问题 跟踪集训 ‎13.(1)答案　‎ 解析　设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.‎ ‎(2)证明　设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC==,又kPA==k,所以kAC=,由kBA·kBP =-知,kBP·kBA=kBP·kAC=·kPB=-,所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.‎ 结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题 跟踪集训 ‎14.解析　设直线AE的方程为y=k(x-1)+,‎ 联立得 消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则xE==.①‎ 同理,可得xF=.②‎ 所以kEF=‎ ‎==,将①②代入上式,化简得kEF=.‎ 所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.‎ 结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题 跟踪集训 ‎15.解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+‎4m2‎-12=0,则有Δ=(‎8km)2-4(4k2+3)·(‎4m2‎-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①‎ 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,‎ 即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.‎ 把①代入化简得‎7m2‎+‎16km+4k2=0,‎ 得m=-2k或m=-.‎ 当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;‎ 当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.‎ 所以l:y=kx+m过定点.‎ 结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题 跟踪集训 ‎16.答案　2‎ 解析　如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又kMF==-,所以kAB=2.‎