2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期第三次月考数学（理）试题 解析版
育才学校2018-2019学年度上学期第三次月考卷
高二实验班理科数学
第I卷(60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.命题“若－1＜x＜1，则＜1”的逆否命题是( )
A．若x≥1或x≤－1，则≥1
B．若<1，则－1
1，则x>1或x<－1
D．若≥1，则x≥1或x≤－1
2.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于( )
A．60° B．75° C．90° D．120°
4.给出命题p：直线l1：ax＋3y＋1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.
对以上两个命题，下列结论中正确的是( )
A．命题“p∧q”为 B．命题“p∨q”为假
C．命题“p∨￢q”为假 D．命题“p∧￢q”为真
5.若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p等于( )
A． B． C．4 D．8
6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
7.已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
8.已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题p∧q是真命题；②命题(￢p)∨q是真命题；③命题(￢p)∨(￢q)是假命题；④命题p∧(￢q)是假命题．其中正确的是( )
A．②③ B． ②④ C． ③④ D． ①②③
9.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
10.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )．
A． B． C． D．
11.平面α的一个法向量n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－ B． C． D．以上都不对
12.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直
第II卷 (90分)
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知集合A＝A＝{x|}，B＝{x|－10，且￢p是￢q的必要非充分条件，求a的取值范围．
18.已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
19. (12分)顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线C过点(12，24)，若B是x轴正半轴上的一个动点，过B的直线m与y轴相交于点A，M是直线m与抛物线C的一个交点，且A和M分布于x轴的两侧，．
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 求证：过A且与直线m垂直的直线n与x轴相交于一个定点．
20. (12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．
21. (12分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0),
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点.
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A,B关于直线y=kx+对称,求b的最小值.
22. (12分)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，AB⊥AF2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．
答案解析
1. D
【解析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若￢q则￢p”，故此命题的逆否命题是“若≥1，则x≥1或x≤－1”．
2. C
【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，
∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
3. C
【解析】cos ∠ABF＝
＝＝＝＝0，
∴∠ABF＝90°，故选C.
4. D
【解析】若直线l1与直线l2平行，则必满足a(a＋1)－2×3＝0，解得a＝－3或a＝2，但当a＝2时两直线重合，所以l1∥l2⇔a＝－3，所以命题p为真．如果这三点不在平面β的同侧，则不能推出α∥β，所以命题q为假．故选D.
5. C
【解析】抛物线y2＝2px的准线为x＝－，∴3＋＝5，∴p＝4.
6. C
【解析】根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2.故选C.
7. B
【解析】由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
8. B
【解析】∵p是假命题，∴￢p是真命题；∵q是真命题，
∴￢q是假命题，∴(￢p)∨q是真命题，p∧q是假命题，(￢p)∨(￢q)是真命题，p∧(￢q)是假命题，故选B.
9. A
【解析】2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，
∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，
∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即－＝1.
10. D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.
11. B
【解析】∵cos〈n1，n2〉＝＝－∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
12. A
【解析】∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.
b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.
∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.
13. (2，＋∞)
【解析】A＝{x|}＝{x|－13，即m>2.
14. a>4
【解析】若命题“﹁p且q”是真命题,则“﹁p”和“q”都是真命题,若p是真命题,则a≤4;若q是真命题,则a≥1或a≤-2,所以由“﹁p”和“q”都是真命题得到a>4.
15. x2＋y2＝a2
【解析】延长F2Q交F1P于M点，
∵PQ是外角的角平分线，且PQ⊥MF2，∴在△F2PM中，|PM|＝|PF2|，Q为MF2中点，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|MF1|＝2a，连接OQ，则|OQ|＝|MF1|＝×2a＝a，∴Q的轨迹为以O为圆心，a为半径的圆，方程为x2＋y2＝a2.
16. 2
【解析】设点P的坐标为(xP，yP)，双曲线－y2＝1有a2＝4，b2＝1，则c2＝5，于是，|F1F2|＝2，则×2|yP|＝，于是，|yP|＝,=1，不妨设点P，于是，，所以，＝2．
17.【解析】设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0 (a<0)}＝{x|3a0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵￢p是￢q的必要非充分条件，∴￢q⇒￢p，且￢pD⇒/￢q.
则{x|￢q}{x|￢p}，而{x|￢q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x|￢p}＝∁RA＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，
则或，即－≤a<0或a≤－4.
18. 设M(x1，y1)，则由题意知，y1>0.
(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意得t>3，k>0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时，上式不成立，因此t＝.
t>3等价于＝<0，即<0.
由此得或解得0(b∈R)对于任意实数b恒成立.于是Δ'=(4a)2―16a<0,解得00,∴2a+≥2,
∴b=≥=,当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号,故b的最小值为
22. (1)设B(x0,0)，由F2(c,0)，A(0，b)知，＝(c，－b)，＝(x0，－b)，
∵⊥，∴cx0＋b2＝0，x0＝－.
由＝知F1为BF2中点，故－＋c＝－2c，
∴b2＝3c2＝a2－c2，即a2＝4c2，故椭圆C的离心率e＝.
(2)由(1)知＝，得c＝a，于是F2(a,0)，B(－a,0)，
△ABF的外接圆圆心为F1(－a,0)，半径r＝a，
D到直线l：x－y－3＝0的最大距离等于2a，∴圆心到直线的距离为a，
∴＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.