数学理卷·2017届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期末考试（2017

大庆铁人中学高三年级上学期期末考试 数 学 试 题 ‎ 命题人： 张兴 张晶波 审题人： 车卫东 试卷说明：‎ (1) 本试卷满分150分，考试时间120分钟 (2) 请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ (3) 若复数满足，则复数的虚部为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、正项等差数列的前项和为，已知，则 (　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4、下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．若，则 ‎ ‎ B．“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎ C．已知是的两个内角，则“”是“”的充要条件 ‎ D．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件 ‎ ‎5、已知直线，平面且，给出下列四个命题中，正确命题的个数为( )‎ ‎ (1) 若，则 (2) 若，则 ‎ (3) 若，则 (4) 若，则 ‎ A．1 　　　　B．2 　　　 C．3 　 D．4‎ ‎6、为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎7、若正数满足，则的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎8、如图，在中，,则的值等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　）‎ ‎ A. B. 4 ‎ ‎ C. 2 D. ‎ ‎10、在三棱锥中， ,则三棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ ‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎11、如图，为双曲线（）的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12、已知函数，且在处取得最小值，则以下各式正确的序号为（ ）‎ ‎① ② ③ ‎ ‎④ ⑤ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13、= .‎ ‎14、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论： . ‎ ‎15、已知抛物线，过焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若，则 .‎ ‎16、关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 .‎ 三、解答题：（第17题10分，18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ 17、 ‎（本小题满分10分）已知，，其中，若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.‎ （1） 求的对称中心；‎ （2） 若在区间上存在两个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎18、（本小题满分12分）已知分别为锐角的三个内角的对边，且.‎ （1） 求的大小；‎ （2） 若，求面积的取值范围.‎ 19、 ‎（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 设，，求数列的前项和为.‎ ‎20、如图，棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21、椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，是椭圆上的一点，已知内切圆半径为1，内心为，且.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过椭圆的左焦点做两条互相垂直的弦，求的最小值.‎ ‎22、（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若当时，成立，求实数的取值范围.‎ 大庆铁人中学高三年级上学期期末考试 数 学 试 卷 答 案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B C D C B D C D B C D B 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13、 14、‎ ‎15、 2或18 16、 ‎ 三、解答题：（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ 因为的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，且，‎ 所以的对称中心为 ‎（2）的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 因为在区间上存在两个不同的零点，‎ 所以在区间上有两个不等的实数根，‎ ‎18、因为 由正弦定理得：‎ 即 化简得 所以 因为，所以 所以，即 6分 ‎ ‎（2） 7分 因为是锐角三角形 ‎ 11分 所以的面积的取值范围是 12分 ‎19、（1）由 时，， 1分 时，……………………………①‎ ‎………………………………②‎ ‎②-①得 所以 4分 所以是以2为首相，2为公比的等比数列，所以的通项公式为，6分 ‎（2）， 7分 ‎ 10分 ‎ 12分 ‎20、(1)证明　设BD与AC交于点O，因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，连接A1O，‎ ‎∵平面AA1C1C⊥平面ABCD, 平面AA1C1C∩平面ABCD=AC, BD平面ABCD ‎∴BD⊥平面AA1C1C ‎∵AA1平面AA1C1C ‎∴BD⊥AA1 4分 ‎(2)在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，‎ ‎∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.‎ 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD. 6分 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设为平面的法向量, ‎ ‎∴,取,得 8分 设为平面的法向量, ‎ ‎∴,取,得 10分 ‎∴‎ 二面角的平面角的余弦值为 12分 ‎21、（1）设所求椭圆方程为：‎ 因为内切圆半径为1，且.‎ ‎（2）①设直线AB的方程为，直线CD的方程为，‎ 直线AB与椭圆方程联立可得：‎ 解得弦长 6分 同理可得弦长 7分 所以=+=‎ 设 ‎= ‎ 当 10分 ‎②当时，= 11分 综上：. 12分 ‎22、（1）由题意知 ‎ ，即，所以 4分 （2） 对于恒成立 ‎ 即对于恒成立 令,‎ ‎，当时 所以对于恒成立，所以在单调递增 6分 ‎ ‎ ‎1）当，即时，且尽在时等号成立，所以在单调递增，从而，满足题意 8分 ‎2）当即时，‎ ‎，且在单调递增，所以，使得， 10分 当时，，所以在单调递减 当时，，所以在单调递增 因此，当时，，不合题意 综上所述： 12分