黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 牡一中2019级高一学年上学期期中考试数学试题 一、选择题 ‎1.若，，则是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，，由集合的交集的定义知道∴.‎ 故选．‎ ‎2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；‎ 选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；‎ 选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；‎ 选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确．‎ 综上所述，故选．‎ ‎3.函数的零点所在的区间是（）‎ A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.‎ ‎【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在 存在零点，故选B.‎ ‎【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.‎ ‎4.设函数，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为时，‎ 所以；‎ 又时，，‎ 所以故选A.‎ 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.‎ ‎5.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”‎ 的否定为“”，故选D.‎ ‎6.下列各角中，与角终边相同角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.‎ ‎【详解】角终边相同的角可以表示为，当时，，所以答案选择B ‎【点睛】判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差整数倍.‎ ‎7.已知扇形的圆心角，所对的弦长为，则弧长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长．‎ ‎【详解】如图所示，‎ ‎∠AOB＝，AB＝，过点O作OC⊥AB，C为垂足，‎ 延长OC交于D，则∠AOD＝∠BOD＝，ACAB＝；‎ Rt△AOC中，r＝AO，‎ 从而弧长为l＝α•r＝‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，考查弦长公式及垂径定理，是基础题．‎ ‎8.已知命题对任意，总有；命题是的充分不必要条件则下列命题是真命题的是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据指数函数的值域和图像，易知命题是真命题，是假命题；‎ ‎∵“”是“”的必要不充分条件，所以是假命题，是真命题，‎ ‎∴是真命题，是假命题，是假命题，是假命题。‎ 故选．‎ ‎9.设，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、、与和的大小关系，可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】函数为增函数，则；；‎ 函数为减函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.当时，函数满足，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由函数（且）满足，故的图象应是C图，故选C．‎ 考点：函数的图象．‎ ‎11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数和函数在区间上的图象，由题意得出，解出该不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】作出函数和函数在区间上的图象如下图所示：‎ 由于不等式对任意的恒成立，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题的关键就是利用图象找出关键点来列出不等式（组）来进行求解，同时也要得出对数底数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎12.设函数若有三个不等实数根，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把f（x）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．‎ ‎【详解】作出函数f（x）=的图象如图，‎ f（x）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，‎ 由图可知，b的取值范围是（1，10]．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13.函数单调递减区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数的开口方向和对称轴可得出二次函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，‎ 因此，函数的单调递减区间是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数单调区间的求解，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎14.设函数的图象关于轴对称，且其定义域为，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的对称轴可得出的值，再由函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，由此可得出的值.‎ ‎【详解】由于函数的图象关于轴对称，对称轴为，得，‎ 则该函数为偶函数，其定义域关于原点对称，，得.‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在解题时还应注意定义域关于原点对称，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知函数.若有最大值或最小值，则的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性转化为研究二次函数有大于零的最值问题,结合二次函数图象确定不等式,解得结果.‎ ‎【详解】因为有最大值或最小值，，所以有大于零的最值，因此或，即或.‎ ‎【点睛】本题考查函数最值以及二次函数性质,考查分类讨论思想与基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎16.已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.‎ ‎【详解】由于函数在上的减函数，则，即，‎ 所以，函数在区间上的值域为.‎ 对于函数，内层函数为，外层函数为.‎ 令，得.‎ 由题意可知，函数在区间上的值域包含.‎ 函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ ‎（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，则，，即，‎ 此时，函数在区间上的值域为，‎ 由题意可得，解得，此时，；‎ ‎（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，‎ 此时，函数在区间上的值域为，‎ 由题意可得，解得或，此时；‎ ‎（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，‎ 由题意可得，解得，此时，.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.‎ 三、解答题：（17题10分，其余每题12分）‎ ‎17.（1）化简；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用根式的性质可得出结果；‎ ‎（2）在等式两边平方可求出的值.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）在等式两边平方得，.‎ ‎【点睛】本题考查根式的性质，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.（1）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，求；‎ ‎（2）求函数的定义域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出值，然后利用奇函数的定义可得出的值；‎ ‎（2）根据分式中分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】（1）当时，，则.‎ 又函数是定义在上的奇函数，；‎ ‎（2）由题意可得，即，解得.‎ 因此，函数的定义域为.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值、以及函数定义域的求解，解题时要熟悉一些常见函数求定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数（且）经过定点，且在幂函数的图象上.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设集合，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，；时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在函数的解析式中，令指数为零，求出的值，再代入该函数的解析式，可求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式，可求出实数的值；‎ ‎（2）分和两种情况利用指数函数的单调性解不等式，可得出集合，并解出集合，然后利用补集和交集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】（1）在函数中，令，得，‎ ‎，所以，点的坐标为，‎ 将点的坐标代入幂函数的解析式得，，解得；‎ ‎（2）解不等式，即，解得，，‎ 则.‎ 当时，指数函数是增函数，由，得，则，解得，‎ 则，此时；‎ 当时，指数函数是减函数，由，得，则，解得，则，此时.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数过定点问题、幂函数解析式的求解、指数不等式的求解以及集合补集与交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎20.（1）如果函数的定义域为，且为增函数，，求的取值范围；‎ ‎（2）若的定义域为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的单调性与定义域得出，解出该不等式组即可求出实数的取值范围；‎ ‎（2）由题意得出关于的不等式在上恒成立，然后分和两种情况分类讨论，结合求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由于函数是定义在的增函数，‎ 由可得，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2）由于函数的定义域为，则关于的不等式在上恒成立.‎ 当时，则有，合乎题意；‎ 当时，则，解得，此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，以及利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化为二次函数在实数集上恒成立问题来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）判断并证明函数在上的单调性；‎ ‎（2）当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值.‎ ‎【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方法一：利用单调性的定义来证明函数在区间上的单调性；‎ 方法二：利用平均变化率的定义得出函数在区间上的平均变化率的正负来得出函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）由（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，可得出该函数在区间 上的最大值和最小值，再利用函数的最大值与最小值之差为，可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）函数在上单调递增.证明如下：‎ 方法一：，且，又，‎ 则.‎ 因为，所以，，，‎ 所以，即.‎ 所以函数在上单调递增；‎ 方法二：，，设，.‎ 又因为、，所以，，故，‎ 因此，函数在上单调递增；‎ ‎（2）由（1）知函数在上单调递增，‎ 此时函数的最大值为，最小值为，‎ 所以，即，解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用单调性的定义证明单调性，同时也考查了利用函数的单调性求函数的最值，解题时要熟悉单调性定义证明函数单调性的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.设函数是奇函数.‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）若，试判断函数的单调性，只需给出判断结果，不需证明；‎ ‎（3）若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）在上为单调增函数；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是上的奇函数，得出，可求出实数的值，然后利用定义证明函数是奇函数；‎ ‎（2）根据函数的解析式以及可判断出函数在上为增函数；‎ ‎（3）由可得出，换元，由可得出，可得出，并构造函数，然后就二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合该函数的最小值为可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，‎ 函数（且）是奇函数，‎ ‎，解得，则，‎ ‎，此时，函数为奇函数；‎ ‎（2），函数在上为单调增函数；‎ ‎（3），，整理得，解得或，‎ 且，，‎ ‎.‎ 令，则.‎ 当时，函数在区间上减函数，在区间上为增函数，则，解得，舍去；‎ 当时，函数在区间上为增函数，，解得，合乎题意.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性求参数，以及与指数型函数最值相关的问题，解题的关键就是将问题转化为二次函数的最值来求解，在对称轴不确定的情况下，要将二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合单调性求出函数的最值，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎