上海市建平中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

上海市建平中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 建平中学高一期中数学卷 一. 填空题 ‎1.已知全集，，那么________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】全集，，由补集的定义可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.‎ ‎2.不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将分式不等式等价变形为，解此不等式即可.‎ ‎【详解】不等式等价于，解得，‎ 因此，不等式的解集是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.命题“若，则且”的逆否命题是________‎ ‎【答案】若或，则.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题之间的关系可得出答案.‎ ‎【详解】由题意可知，命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”.‎ 故答案为：若或，则.‎ ‎【点睛】本题考查逆否命题的改写，解题时要充分了解原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式可计算出的值.‎ ‎【详解】，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分非必要条件关系得出，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】“”是“”的充分非必要条件，，则.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.‎ ‎6.若、，且，则的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数的定义域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得.‎ 因此，函数的定义域是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.设函数，则不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分与两种情况解不等式，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出的解集.‎ ‎【详解】当时，由，得，即，解得或，‎ 此时，或；‎ 当时，由，得，解得，此时，.‎ 综上所述，不等式的解集是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.若函数的定义域为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，对任意的，不等式恒成立，然后分和两种情况分析，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，对任意的，不等式恒成立.‎ ‎①当时，则有，该不等式在上不恒成立；‎ ‎②当时，由于不等式在上恒成立，‎ 则，即，‎ 解得或，此时，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎10.若，且，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合题意得出关于的方程有负根或无实根，分二次方程有两个相等的负根、两根一正一负、两个负根以及无实根进行分类讨论，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于，且，则关于的方程有负根或无实根.‎ ‎①若方程有两个相等的负根时，则，解得；‎ ‎②若方程的两根、一正一负，则，事实上，不合乎题意；‎ ‎③若方程的两根、不等，且两根均为负数，则，解得；‎ ‎④若方程无实根，则，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，解题时要结合判别式、两根之和与差的符号来进行分析，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎11.关于的不等式的解集不是，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，存在，使得，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.‎ ‎【详解】由题意知，存在，使得，则.‎ 由绝对值三角不等式得，，‎ ‎，即，解得或 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎12.已知、，，可以利用不等式和求得的最小值，则其中正数的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个基本不等式等号成立的条件得出、的表达式，代入可求出实数的值.‎ 详解】由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立.‎ 由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立.‎ 此时，，则，‎ 所以，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二. 选择题 ‎13.对于集合、，若，则下面集合的运算结果一定是空集的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.‎ ‎【详解】作出韦恩图如下图所示：‎ 如上图所示，，，，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.‎ ‎14.如果、、满足，且，那么下列选项不恒成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可得，．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A正确；,,所以，故选项C正确；,所以，故选项D正确；当时，选项B错误．故选B．‎ 考点：证明简单的不等式（或比大小）．‎ ‎15.若集合，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，由得出关于的不等式组，求出实数的取值范围，由此可判断出“”是“”的充分非必要条件.‎ ‎【详解】解不等式，解得，.‎ 解不等式，即，解得，.‎ ‎，则有，解得.‎ 因此，“”是“”的充分非必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎16.已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解得，从中去掉形如数，此时中有个元素，注意中还可含以下个特殊元素：、、、、、、，故中元素最多时，中共有个元素，由此可得出结论.‎ ‎【详解】令，解得，所以，集合是集合的一个非空子集.‎ 再由，先从中去掉形如的数，由，可得，，此时，中有个元素.‎ 由于集合中已经去掉了、、、、、、这个数，而它们对应的形如的数分别为、、、、、、，并且、、、、、、对应的形如的数都在集合中.‎ 故集合中还可有以下个特殊元素：、、、、、、，‎ 故集合中元素最多时，集合中共有个元素，对应的集合也有个元素，‎ 因此，中共有个元素.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 三. 解答题 ‎17.解不等式组.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出两个不等式，然后将两个不等式解集取交集即可得出不等式组的解集.‎ ‎【详解】解不等式，即或，解得或.‎ 解不等式，即，解得.‎ 因此，不等式组的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.已知：、是正实数，求证：.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式得出，，然后利用同向不等式的可加性可得出证明.‎ ‎【详解】由基本不等式得出，，‎ 上述两个不等式当且仅当时，等号成立，‎ 由同向不等式的可加性得，即.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.‎ ‎19.若，，.‎ ‎（1）分别求与的定义域；‎ ‎（2）求的定义域与值域；‎ ‎（3）在平面直角坐标系内画出函数的图象，并标出特殊点的坐标.‎ ‎【答案】（1）的定义域为，的定义域为；‎ ‎（2）的定义域是，的值域是；‎ ‎（3）图象见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数和的定义域；‎ ‎（2）将函数和的定义域取交集可得出函数的定义域，并求出函数的解析式，利用基本不等式可得出函数的值域；‎ ‎（3）根据双勾函数的图象可得出函数在其定义域上的图象.‎ ‎【详解】（1）对于函数，，则函数的定义域为.‎ 对于函数，有，解得且，‎ 所以，函数的定义域为；‎ ‎（2），定义域为.‎ 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.‎ 因此，函数的值域为；‎ ‎（3）函数，为双勾函数图象的一部分，如下图所示：‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.设集合，集合，且.‎ ‎（1）若，求实数、的值；‎ ‎（2）若，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），或，或，；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解出集合，分集合、、三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数、的值；‎ ‎（2）由可得出或，并利用集合中的元素满足互异性得出实数的值.‎ ‎【详解】（1），，且，分以下三种情况讨论：‎ ‎①当时，由韦达定理得；‎ ‎②当时，由韦达定理得；‎ ‎③当时，由韦达定理得.‎ 综上所述，，或，或，；‎ ‎（2），且，或，解得或.‎ 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意；‎ 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；‎ 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意.‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为，如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为，如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为元和元，乙生产、两种产品的单件成本分别为元和元，设产品、的单价分别为元和元（根据经济学常识，，），甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为.‎ ‎（1）求和关于、的表达式，当时，求证：；‎ ‎（2）设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ ‎（3）记（2）中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立？试说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当，时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大值为；（3）不存在满足条件的、的值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件时，表示出要证明的相等的两个式子相等；‎ ‎（2）在上一问表示的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件；‎ ‎（3）先写出结论：不能由（2）知，因为，不能取到、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立.‎ ‎【详解】（1）甲：买进的满意度，卖出的满意度为.‎ 所以，甲买进和卖出的综合满意度为.‎ 乙：卖出的满意度为，买进的满意度为.‎ 所以，乙卖出和买进的综合满意度为.‎ 当时，.‎ ‎，因此，；‎ ‎（2）设，当时，‎ ‎，当且仅当时，即当时，等号成立，即，‎ 时，甲、乙两人的综合满意度最大，最大综合满意度为；‎ ‎（3）不能由（2）知，因为，‎ 因此，不能取到、的值，使得和同时成立，因为等号不同时取到.‎ ‎【点睛】本题考查函数模型的选择和应用，解题的关键就是理解题意，在求最值时应该根据代数式的机构合理选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎ ‎