2020届高三数学（文）“大题精练”13

2020届高三数学（文）“大题精练”13

‎2020届高三数学（文）“大题精练”13‎ ‎17.已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。‎ ‎19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：，，‎ ‎，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. ‎ ‎20.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最小值.‎ ‎21.已知是函数的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.‎ ‎（参考数据：）‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎2020届高三数学（文）“大题精练”13（答案解析）‎ ‎17.已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 当时，‎ 即：，数列为以2为公比的等比数列 ‎（2）‎ 两式相减，得 ‎18.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。‎ 试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO。 ‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB ‎ 又EO平面AEC，PB平面AEC 所以PB∥平面AEC。 ‎ ‎（2）‎ 由，可得.‎ 作交于。‎ 由题设易知，所以 故，‎ 又所以到平面的距离为 法2：等体积法 由，可得.‎ 由题设易知,得BC 假设到平面的距离为d，‎ 又因为PB=‎ 所以 又因为(或)，‎ ‎，所以 ‎19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：，，‎ ‎，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数 ‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ 试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. ‎ ‎20.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最小值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：‎ 焦点到准线的距离为，即. ‎ ‎(Ⅱ)抛物线的方程为，即，所以 ‎ 设，，‎ ‎ ‎ 由于，所以，即 ‎ 设直线方程为，与抛物线方程联立，得 所以 ‎，，所以 即 联立方程得：，即： ‎ 点到直线的距离 所以 当时，面积取得最小值 ‎21.已知是函数的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为，且极值点 所以，所以 此时 ‎ 设 ，则 则当时，，为减函数 又 当时，，则为增函数 当 时，，则为减函数 此时为的极大值点，符合题意 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点 当时，，为增函数，且 ，‎ 所以存在 结合(Ⅰ)可知当时，，为减函数； 时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点 又 ，所以 且满足 .‎ 所以 由二次函数图象可知：‎ 又，‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.‎ 试题解析:（1）由题意：曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数）代入曲线的方程有：‎ ‎，设点对应的参数分别为，则，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为：.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数