湖南省永州市2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

湖南省永州市2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 永州市2019年高考第三次模拟考试试卷 数学（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的概念可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为合，所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.一支由学生组成的校乐团有男同学人，女同学人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.‎ ‎【详解】用分层抽样的方法从校乐团中抽取人，所得抽样比为，因此抽取到的男同学人数为人.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎3.设为虚部单位，复数满足，则（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，‎ ‎∴|z|．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎4.已知向量，若，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.‎ ‎【详解】由题意：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 先由渐近线过点，得到与关系，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，‎ 即，所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.‎ ‎6.正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据侧视图是从左往右看到的图形即可得出结果.‎ ‎【详解】从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图即可，属于基础题型.‎ ‎7.已知满足对，且时，则值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到函数周期，进而可将化为，代入，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为满足对，所以函数的最小正周期为，‎ 又时，，‎ 因此.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查函数周期性的应用，熟记函数周期性的概念即可，属于基础题型.‎ ‎8.已知圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的母线长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为，即可列出方程组，求出结果.‎ ‎【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，‎ 由圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，‎ 可得，解得，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.‎ - 21 -‎ ‎9.将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数的一个对称中心可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到变换后的函数解析式，再结合余弦函数的对称中心即可求出结果.‎ ‎【详解】将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数解析式为，所以其对称中心为（）.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知是数列的前项和，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由得到数列是等差数列，再根据，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为是数列的前项和，且，所以，因此数列是公差为的等差数列，又，所以，‎ 因此.‎ - 21 -‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质、以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质以及前项和公式即可，属于常考题型.‎ ‎11.如图，在边长为的正六边形内任取一点，则点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出正六边形的面积，再求出到正六边形一个顶点的距离小于等于的图形面积，利用面积比即可求出结果.‎ ‎【详解】因为正六边形的边长为2，所以其面积为；‎ 又到正六边形顶点的距离小于等于1的图像面积为，‎ 所以点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.‎ ‎12.已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，将不等式化为，‎ 再由函数的单调得到，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以，因此函数为奇函数，‎ 所以化为，‎ 又在上恒成立，因此函数恒为增函数，‎ 所以，即，解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知函数，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到函数的单调性，进而可求函数的最小值.‎ ‎【详解】因为函数是单调递减函数，‎ 所以时，函数.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的最值问题，熟记基本初等函数的单调性即可，属于基础题型.‎ - 21 -‎ ‎14.若满足，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】[1，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，通过平移直线找到在轴截距的最大和最小值，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：‎ 令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围 由平移可知如图：‎ 当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大 ‎，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中的范围类问题的求解，关键是能够通过平移找到截距取得最值时所经过的可行域中的点.‎ - 21 -‎ ‎15.从圆外一点向这个圆作两条切线，切点分别为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作出图像，记圆的圆心为，根据题意得到，得到，根据题意求出，再由二倍角公式即可求出结果.‎ ‎【详解】先由题意作出图像如下图：‎ 记圆的圆心为，‎ 由题意，易得，所以，因此；‎ 因为，所以，，‎ 所以，因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记二倍角公式即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于 - 21 -‎ ‎，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作出图像，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意，作出图像如下：‎ 因为是椭圆的左焦点，所以，‎ 又轴，所以，‎ 因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，‎ 所以，，‎ 由题意易得，，‎ 所以，，‎ 因此，整理得,‎ 所以离心率为.‎ 故答案为 - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，角的对边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得，求出，根据余弦定理即可求出结果；‎ ‎（2）先由（1）得到，求出，进而得到，，再由面积公式即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由得，，‎ 又，所以.‎ 由余弦定理得，‎ - 21 -‎ 所以，. ‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎，即.‎ 在中，，‎ ‎， ‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型.‎ ‎18.如图，在菱形中，，与交于点.以为折痕，将折起，使点到达点位置. ‎ 若，求证：平面平面；‎ 若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，进而可得面面垂直；‎ ‎（2）先由题意证明平面，再由三棱锥的体积公式即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）因为，四边形为菱形，所以为正三角形，‎ - 21 -‎ ‎, ‎ 因为 ，所以 ,‎ 所以平面，平面，‎ 所以，平面平面.‎ ‎（2）由于，所以平面，‎ 在中，，‎ 所以，，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及三棱锥的体积，熟记判定定理以及棱锥的体积公式即可，属于常考题型.‎ ‎19.某花卉种植研究基地对一种植物在室内进行分批培植实验，以便推广种植.现按种温度分批进行试验（除温度外，其它生长环境相同，且温度控制在以上），且每批种植总株数均为.试验后得到下表的统计图：‎ 请在答题卡上所给的坐标系中画出关于的散点图，并估计环境温度在时，推广种植植物死亡的概率；‎ 请根据散点图，判断与哪个回归模型适合作为与回归方程类型（不需说明理由），并根据你的选择求出回归方程（结果精确到）‎ 若植物投入推广种植中，要求每株中死亡的株数不超过株，那么种植最高温度应控制为多少（结果保留整数）‎ 参考数据：‎ - 21 -‎ 附回归直线方程中斜率与截距的最小二乘估计分别是：‎ 温度 ‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ 死亡株树y ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) (3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据描点，即可得出散点图；由频率估计概率，即可得出环境温度在时，推广种植植物死亡的概率；‎ ‎（2）根据题中数据得到，，即可得出结果；‎ ‎（3）根据（2）中结果，得到，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）散点图如下 温度在实际种植时植物A死亡的概率为：‎ ‎. ‎ ‎（2）适合作为与的回归方程类型.‎ 因为，‎ ‎， ‎ 所以回归直线方程为：. ‎ - 21 -‎ ‎（3）由得，‎ 故种植最高温度应控制在.‎ ‎【点睛】本题主要考查散点图、线性回归方程，熟记最小二乘法求，的估计值即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知直线是经过点且与抛物线相切的直线.‎ 求直线的方程；‎ 如图，已知点是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，求证：直线与平行.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，即可求出斜率，得到直线方程；‎ ‎（2）先由题意得到，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为 ，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，进而计算，即可得出结论成立.‎ ‎【详解】解：（1）显然直线的斜率存在且不为，‎ 设直线的方程为：与联立，消去整理得，‎ ‎，令，即，‎ - 21 -‎ 解得，‎ 所以，直线的方程为. ‎ ‎（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数， ‎ 设直线的方程为 ，与联立，消去整理得 ‎，则， ‎ 从而，将换成，得， ‎ ‎，‎ 所以，直线与平行.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线综合，通常需要联立直线与抛物线方程，结合判别式、斜率公式等求解，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数 讨论函数的单调性；‎ 当时，求函数在区间上的零点个数.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.‎ ‎【详解】解：（1） ， ， ‎ ‎ ‎ - 21 -‎ 当时，， ‎ 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）得， ‎ 当，即时，函数在内有无零点； ‎ 当，即时，函数在内有唯一零点，‎ 又，所以函数在内有一个零点； ‎ 当，即时，由于，，‎ ‎，‎ 若，即时，，由函数单调性知 使得，使得,‎ 故此时函数内有两个零点； ‎ 若，即时，，‎ 且，，‎ 由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点 综上所述，当时，函数在内有无零点；‎ 当时，函数在内有一个零点；‎ - 21 -‎ 当时，函数在内有两个零点．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.‎ ‎22.修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出当时的直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ 已知点，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 直线普通方程为，曲线的直角坐标方程为 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入，消去得到的普通方程；再根据极坐标和直角坐标互化的方法得到的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入的直角坐标方程中，利用的几何意义求解出，根据可求得所求范围.‎ ‎【详解】（1）当时，直线的普通方程为 曲线的直角坐标方程为 ‎（2）将直线的参数方程,代入 整理得：‎ 由参数的几何意义，有，‎ - 21 -‎ 所以 又 所以的取值范围是 ‎【点睛】本题考查极坐标和直角坐标互化、参数方程化普通方程、与参数方程有关的距离类问题，解题关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理将所求距离问题进行转化.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ 当时，求不等式的解集；‎ 若，的最小值为，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过分类讨论得到解析式，求解不等式得到结果；（2）根据绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】（1）当，时，‎ 可得的解集为 ‎（2）因为，又最小值为 所以，又， ‎ 所以 - 21 -‎ 当且仅当，时取等号 故的最小值为 ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够构造出符合积为定值的两数之和的形式，从而利用基本不等式求得结果.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎