2018届高三数学一轮复习： 第1章 第1节 集合

2018届高三数学一轮复习： 第1章 第1节 集合

第一章　集合与常用逻辑用语 ‎[深研高考·备考导航]　为教 师授课、学生学习提供丰富备考资源 ‎[五年考情]‎ 考点 ‎2016年 ‎2015年 ‎2014年 ‎2013年 ‎2012年 集合的概念及其运算 全国卷Ⅰ·T1‎ 全国卷Ⅱ·T2‎ 全国卷Ⅱ·T1‎ 全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1‎ 全国卷Ⅰ·T1‎ 全国卷Ⅱ·T1‎ 全国卷·T1‎ 四种命题及其关系，充分条件与必要条件 含逻辑联结词的命题的真假判断，全称命题、特称命题的否定 全国卷Ⅰ·T3‎ 全国卷Ⅰ·T9‎ ‎[重点关注]‎ 综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：‎ ‎1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．‎ ‎2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．‎ ‎3．从命题思路看：‎ ‎(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．‎ ‎(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．‎ ‎(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．‎ ‎(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．‎ ‎[导学心语]‎ 根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：‎ ‎1．全面系统复习，深刻理解知识本质 ‎(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．‎ ‎(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．‎ ‎(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．‎ ‎2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎(1)子集的个数及判定问题．‎ ‎(2)集合的运算问题．‎ ‎(3)充分条件、必要条件的判断问题．‎ ‎(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．‎ ‎(5)特称命题、全称命题的否定问题．‎ ‎3．重视数学思想方法的应用 ‎(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．‎ ‎(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．‎ 第一节　集　合 ‎[考纲传真]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA.‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.‎ ‎(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．‎ ‎3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形表示 符号表示 A∪B A∩B ‎∁UA 意义 ‎{x|x∈A或x∈B}‎ ‎{x|x∈A且x∈B}‎ ‎{x|x∈U且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．‎ ‎(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何集合都有两个子集．(　　)‎ ‎(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(　　)‎ ‎(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)‎ ‎(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．‎ ‎(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．‎ ‎(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．‎ ‎(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)‎ A．{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)‎ A. B. C. D. D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．‎ ‎∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝.‎ ‎∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.‎ 故选D.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　)‎ A．{4,8}　　　　　　　 B.{0,2,6}‎ C．{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}‎ C　[∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，‎ ‎∴∁AB＝{0,2,6,10}．]‎ ‎5．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________. ‎ ‎【导学号：01772000】‎ ‎{x|－3＜x≤－1}　[由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}．‎ ‎∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}，‎ ‎∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．]‎ 集合的基本概念 ‎　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1　　　 B‎.‎‎3　‎　‎ C.5　　　 D.9‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C.0 D.0或 ‎(1)C　(2)D　[(1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；‎ 当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；‎ 当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.‎ 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x ‎＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－‎8a＝0得a＝，‎ 所以a的取值为0或.]‎ ‎[规律方法]　1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．‎ ‎2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．‎ ‎[变式训练1]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．‎ 　[∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，‎ 当a＝0时，x＝不合题意；‎ 当a≠0时，Δ＝9＋‎8a＜0，∴a＜－.]‎ 集合间的基本关系 ‎　(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A．AB B.BA C．A⊆B D.B＝A ‎(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜‎2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(1)B　(2)(－∞，4]　[(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，‎ 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，‎ 因此BA.‎ ‎(2)当B＝∅时，有m＋1≥‎2m－1，则m≤2.‎ 当B≠∅时，若B⊆A，如图．‎ 则 解得2＜m≤4.‎ 综上，m的取值范围为m≤4.]‎ ‎[规律方法]　1.B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．‎ ‎2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)‎ A．{1,2} B.{x|x≤1}‎ C．{－1,0,1} D.R ‎(2)(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x＜m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：01772001】‎ ‎(1)A　(2)(2 016，＋∞)　[(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．‎ ‎(2)由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1,2 017]，‎ 又B＝{x|x＜m＋1}，且A⊆B，‎ 所以m＋1＞2 017，则m＞2 016.]‎ 集合的基本运算 ‎☞角度1　求集合的交集或并集 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5　　　　 B‎.‎‎4　‎　　‎ C.3　　　　 D.2‎ ‎(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，‎ N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)‎ A．[0,1] B.(0,1]‎ C．[0,1) D.(－∞，1]‎ ‎(1)D　(2)A　[(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．‎ ‎(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0

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