数学理卷·2017届云南省昭通市一中（昭通市）高三第二次统一检测（2017

数学理卷·2017届云南省昭通市一中（昭通市）高三第二次统一检测（2017

机密★启用前 【考试时间：2017年5月 11日 15:00—17:00】‎ 昭通市2017届高三复习备考第二次统一检测 理 科 数 学 试 卷 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，33号，47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 （ ）‎ A．13 B．17 C．19 D．21‎ ‎（4）在等差数列中，是方程的根，则的值是 （ ）‎ A. 41 B．51 C. 61 D．68 ‎ ‎（5）将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎（6）已知实数 ，则的大小关系是 ‎ ‎（ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎（7）给出下列两个命题：命题:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则的概率为.‎ 图1‎ 命题：若函数，则的最小值为4.‎ 则下列命题为真命题的是： （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（8）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.图1是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5，2，则输出的n等于 （ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎（9）若满足，当取最大值时，的常数项为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 图2‎ ‎（10）如图2所示，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为 （ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎（11）已知双曲线的左顶点为，抛物线的焦点为，若在曲线的渐近线上存在点使得，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（12）若函数在区间上，，，，，，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知向量的夹角为，则 .‎ ‎（14）已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为 .‎ ‎（15）已知中，交于，则的长为 .‎ ‎（16）在棱长为1的正方体中，,是线段上的动点，过做平面的垂线交平面于点，则点到点的距离最小值是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验次数 A 甲 ‎2次 ‎6次 ‎4次 ‎12次 B 乙 ‎3次 ‎6次 ‎3次 ‎12次 C 丙 ‎2次 ‎2次 ‎8次 ‎12次 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥的底面为平行四边形，且 ‎,,分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.‎ ‎（Ⅰ）在图中作出平面，使面‖(不要求证明）；‎ ‎（II）若，是否存在实数，使二面角的平面角大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为、,,直线交椭圆于C、D两点，与线段及椭圆短轴分别交于两点（不重合）,且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若，设直线的斜率分别为，求的取值范围.‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）研究函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数有两个不同的零点、，且.‎ ‎（1）求的取值范围； （2）求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线交轴于两点，且点，为直线上的动点，求周长的最小值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数 ‎（Ⅰ）若最小值为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集.‎ 昭通市2017届高三复习备考第二次统一检测 理 科 数 学（参考解答）‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A C B D D C C A B B D ‎【6】解题思路：‎ ‎，，故选D ‎【7】解题思路：易知命题为真命题，命题为假命题，故选择C.‎ ‎【8】解题思路：由程序框图可知：输入时，‎ 输出，选择C ‎【9】解题思路：由可行域可知，目标函数在点处取得最大值，此时n=6‎ 由的二项展开式的通项公式当r=6时，其常数项为240‎ ‎【10】解题思路：该几何体是棱长为2的正方体内的四面体.的面积为2，的面积均为，的面积为，故该四面体的表面积为，故选B.‎ ‎【11】解题思路：在曲线的渐近线上存在点使得，即以MF为直径的圆与渐近线有交点， ， 圆心 ‎，由点N到渐近线的距离小于等于半径，即，‎ 解得。‎ ‎【12】解题思路:根据“三角形函数”的定义可知，若在区间上的“三角形函数”，则在上的最大值和最小值应满足，由可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得的取值范围为，故选D 二、填空题 ‎13． 14. 15. 16. ‎ ‎【15】解题思路：由余弦定理可推得,由等面积法 解得 ‎【16】解题思路：连结，易知面面，而，即，在面内，且点的轨迹是线段，连结，易知是等边三角形，则当为中点时，距离最小，易知最小值为 ‎ 三、解答题 ‎【17】解析：（Ⅰ）由题意知：……………………………………2分 解，故数列；………………………………………………………………….5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，……………………………8分 则 ‎……………………………………………………………….12分 ‎【18】解析：‎ ‎（Ⅰ）设事件M：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则………………………..3分 ‎（Ⅱ）设事件A、B、C分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知 ‎,………………………………………………………………………...5分 且X 的可能取值为0,1,2,3‎ ‎………………………………………………………………………………..8分 分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…………………………………………………………………………............12分 ‎【19】解析：‎ ‎（Ⅰ）如图，是的中点（若未作成虚线，扣两分）………………………4分 ‎（Ⅱ）在中，,所以由余弦定理求得,有，所以，…………………………………………….5分 以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 且，‎ 又，设，则 即………………………………………………………………………………7分 设平面的法向量为 由得，…………………………………………………………9分 易知面的法向量为 ‎ 要使二面角为，则有 解得…………………………………….11分 由图可知，要使二面角为，则……………………………………………12分 ‎【20】解析：‎ ‎（Ⅰ）由，可知即椭圆方程为 ‎ ………………..….2分 离心率为………………………………………………………………………………….….4分 ‎（Ⅱ）设易知…………………….5分 由消去y整理得：‎ 由 ，…………………………………………………………………....6分 且即可知，即，解得……………….8分 由题知，点M、F1的横坐标,有 易知满足 即，则……………………………..12分 ‎【21】解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域，……………………………………………………..2分 ① 若，则恒成立，在单调递增函数。‎ ① 若，令解得，‎ 则在单调递减，在单调递增；……………………………………………………….4分 ‎（Ⅱ）因为有两个不同的零点，由①知 ‎……………………………………………………………………………6分 且，要证，即证 由于则，即证...............................8分 设，，只需证即可 ‎…………………………………………………………10分 可知在是单调递减函数，故,‎ 得证. …………………………………………………………………………………………..12分 ‎【22】解析（Ⅰ）由直线的极坐标方程，得 即，直线的直角坐标方程为，………………………............... 3分 由曲线C的参数方程得C得普通方程为……………………………………….5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C表示圆心，半径的圆，令得 A的坐标为，B的坐标为………………………………………………………………6分 设A关于直线l的对称点为M（a，b），则有 解得，即点M（1,3）………………………………………….……….8分 由题易知当P为MB与直线l的交点时周长最小，最小值为。…………………10分 ‎【23】解析 ‎（Ⅰ）由题知 ‎………………………...3分 ‎ 则，解得………………………………………………… ………….5分 ‎（Ⅱ）设…………………….6分 若，有，解得，‎ 若，有，解得，…………………………………………………………..8分 综上，不等式的解集为………………………………………………………10分