2018-2019学年山东省潍坊市高二下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省潍坊市高二下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省潍坊市高二下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．‎ A．30 B．24 C．20 D．15‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据公式：计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列数的计算，难度较易.‎ ‎2．若复数满足，则复数的虚部为.‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数除法的运算法则去计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，虚部是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算 ‎3．已知随机变量，则 参考数据：若，‎ A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率.‎ ‎【详解】‎ 因为即，所以，‎ ‎，‎ 又，，‎ 且，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率.‎ ‎4．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（ ）‎ A.5 B.10 C.20 D.40‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.‎ ‎【详解】‎ 因为二项展开式的各项系数和，所以，‎ 又二项展开式的通项为=，，‎ 所以二项展开式中的系数为。答案选择B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题。‎ ‎5．己知，则向量与的夹角为.‎ A．30 B．60 C．120 D．150.‎ ‎【答案】B ‎【解析】将数量积公式进行转化，可计算，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 因为、，所以，则、，所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式，对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角.‎ ‎6．根据下表样本数据 ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ 用最小二乘法求得线性回归方程为则当时，的估计值为 A．6.5 B．7 C．7.5 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据回归直线方程过样本点的中点求解出，然后再代入求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即，所以回归直线方程为：，代入，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是，这一点要注意.‎ ‎7．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.292‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.‎ ‎【详解】‎ 因为摸一次球，是白球的概率是，不是白球的概率是，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.‎ ‎8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ‎①若则;②若则;‎ ‎③若,则;④若则 A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.‎ ‎【详解】‎ ‎①当都在平面内时，显然不成立，故错误；②因为，则过的平面与平面的交线必然与平行；又因为，所以垂直于平面内的所有直线，所以交线，又因为交线，则，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故正确；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析；（3）举例说明或者作图说明.‎ ‎9．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是 A．24 B．32 C．36 D．48‎ ‎【答案】A ‎【解析】特殊元素优先排，相邻元素捆绑排，然后再分析剩余元素的排列.‎ ‎【详解】‎ 先排，方法有：种；将捆绑在一起，方法有：种；将这个整体和以及全排列，方法有：种，所以六位数的个数为：个，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的简单应用，难度一般.在排列组合的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则.‎ ‎10．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积 ，所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.‎ ‎11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.‎ ‎【详解】‎ 因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.‎ ‎12．在三棱锥中，，若过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分，则棱与平面所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过体积相等确定过中点，再通过长度关系证明平面，然后即可计算夹角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，取中点为连接，因为过的平面将三棱锥分为体积相等的两部分，所以即为平面；‎ 又因为，所以，又，所以，且，所以平面，所以与平面所成角即为，因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线面角的有关问题，难度较难.一般有两种方法求解线面角的正、余弦值：（1）通过等体积的方法，计算出点到面的距离，然后即可求值（不需要找角）；（2）找到线面角，根据线段长度计算相应值.‎ 二、填空题 ‎13．已知数据的方差为1，则数据的方差为____.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】根据方差的线性变化公式计算：方差为，则的方差为.‎ ‎【详解】‎ 因为方差为，则的方差为,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的线性变化，难度较易.如果已知方差为，则的方差为，这可用于简便计算方差.‎ ‎14．某足球队10名队员的年龄结构如表所示，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则_____，该足球队队员的平均年龄为_____ ‎ 年龄 ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ a b ‎2‎ ‎1‎ ‎【答案】3 22 ‎ ‎【解析】先根据中位数确定的值，然后再去求解平均数.‎ ‎【详解】‎ 因为中位数，所以第五名队员年龄是岁，第六名队员年龄是岁，所以；则平均年龄为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中位数、平均数的计算，难度较易.注意：当一组数据有奇数个时，中位数就是处于中间位置的那个数，当一组数据有偶数个时，中位数就是处于中间位置的两个数的平均值.‎ ‎15．三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的体积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出示意图，根据“球心与任意小圆面的圆心的连线垂直于小圆圆面、球心与弦中点的连线垂直于弦”确定外接球的球心所在位置，最后计算出体积.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：为等腰直角三角形，所以的外接圆圆心即为中点，过作一条直线，平面，则圆心在直线上，过的中点作，垂足为，此时可知：，故即为球心，所以球的半径，所以球的体积为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查外接球的体积计算,难度一般.求解外接球、内切球的有关问题，第一步先确定球心，第二步计算相关值.其中球心的确定有两种思路：（1）将几何体放到正方体或者长方体中直接确定球心；（2）根据球心与小圆面的圆心、弦中点等的位置关系确定球心.‎ ‎16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.‎ ‎①存在点，使得平面平面；‎ ‎②存在点，使得平面；‎ ‎③的面积不可能等于；‎ ‎④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】逐项分析.‎ ‎【详解】‎ ‎①如图 当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；‎ ‎②如图 取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；‎ ‎③如图 作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；‎ ‎④如图 设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.‎ 故填：①②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为，然后统一未知数去分析问题.‎ 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎(1)若,求.‎ ‎(2)设复数满足，试求复数平面内对应的点到原点距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由判断出对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎，‎ ‎(2)设，‎ 即，‎ 即在平面对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数对应的点为圆心，以为半径的圆的复数方程是：.‎ ‎18．已知二项式展开式中的第7项是常数项.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求展开式中有理项的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）展开式中的有理项共有3项 ‎【解析】（1）根据二项展开式的通项以及第项是常数项计算的值；（2）根据二项展开式的通项，考虑未知数的指数为整数的情况，然后判断有理项的项数.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）二项式展开式的通项为 第7项为常数项，‎ ‎（2）由（1）知，‎ 若为有理项，则为整数，‎ 为6的倍数，‎ ‎，共三个数，‎ 展开式中的有理项共有3项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项展开式的通项的应用，难度一般.二项展开式中的有理项的分析的主要依据是：未知数的指数为整数；二项展开式中的常数项的分析的主要依据是：未知数的指数为.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，点在上，平面平面.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）在平面内知道两条相交直线与垂直，利用判定定理即可完成证明；（2）通过辅助线，将与平行四边形关联，从而计算出长度，然后即可求解三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）平面，‎ ‎，‎ 又四边形为正方形，，且，‎ 平面，‎ 为的中点，，且，‎ 平面；‎ ‎（2）作于，连接，如图所示：‎ 平面平面，‎ 面，‎ 由（1）知平面，‎ ‎，‎ 又平面 平面，‎ 面，平面，‎ 平面，‎ 平面平面，平面，‎ 四边形为平行四边形，‎ 为的中点，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中的线面垂直关系证明以及体积计算，难度一般.计算棱锥体积的时候 ‎，可以采取替换顶点位置的方式去计算，这样有时候能简化运算.‎ ‎20．随着智能手机的普及，网络搜题软件走进了生活，有教育工作者认为，网搜答案可以起到帮助人们学习的作用，但对多数学生来讲，过度网搜答案容易养成依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解学生网搜答案的情况，某学校对学生一月内进行网搜答案的次数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女生各100人进行抽样分析，制成如下频率分布直方图：‎ 记事件“男生1月内网搜答案次数不高于30次”为，根据频率分布直方图得到的估计值为0.65‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若一学生在1月内网搜答案次数超过50次，则称该学生为“依赖型”，现从样本内的“依赖型”学生中，抽取3人谈话，求抽取的女生人数X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1），（2）详见解析 ‎【解析】（1）根据的估计值计算出的值，然后根据频率和为计算出的值；（2）先计算出男、女“依赖型”人数，然后根据超几何分布的概率计算去求解X的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以；‎ ‎（2）样本中男生“依赖型”人数为，‎ 女生“依赖型”人数为，‎ 的所有可能取值为..‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的理解以及离散型随机变量的均值，难度一般.根据频率分布直方图去求解相应值的时候，注意隐含条件：频率和为；书写分布列的时候注意检验一下概率和是否为.‎ ‎21．如图，在三棱柱中，，，点在平而内的射影为 ‎(1)证明：四边形为矩形；‎ ‎(2)分别为与的中点，点在线段上，已知平面，求的值.‎ ‎(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎【答案】（1）详见解析（2）（3）‎ ‎【解析】（1）根据投影分析线段长度关系，由此得到 长度关系，由此去证明四边形为矩形；（2）通过取中点，作出辅助线，利用线面平行确定点位置，从而完成的计算；（3）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：平面，‎ 在平面，‎ 在与中，‎ 又，‎ ‎，‎ 四边形为矩形；‎ ‎（2）取的中点，连结交于，‎ 分别为的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又为的中点，‎ ‎，‎ 四边形为平行四边形，‎ 即，‎ 平面，‎ ‎；‎ ‎（3）如图，以为坐标原点，过分别与平行的直线为轴，轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎，‎ 平面的法向量，‎ ‎，‎ 设为平面的法向量 得 ‎，‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何的综合应用，难度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值时，要注意一个问题：有时候求解出的余弦值是负值，但实际结果却是正值，这里其实我们需要回原图中去观察一下两个面所成的二面角是锐角还是钝角，然后给出判断即可.‎ ‎22．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：‎ 方案一：逐瓶检验，则需检验次；‎ 方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.‎ ‎(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；‎ ‎(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.‎ 若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.‎ ‎(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;‎ ‎(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）（2）（ⅰ）（ii）8‎ ‎【解析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，‎ 则，且互斥，‎ 所以 ‎（2），‎ 的取值为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 由得，‎ 所以；‎ ‎（ii）,所以，‎ 所以，所以 设，‎ ‎，‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减 又，‎ 所以的最大值为8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..‎