2018年北京市房山区高考一模试卷数学文

2018年北京市房山区高考一模试卷数学文

2018 年北京市房山区高考一模试卷数学文 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项. 1.若集合 M={-1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则集合 M∩N 等于( ) A.{-1，1} B.{1，2} C.{-1，1，3，5} D.{-1，0，1，2} 解析：集合 M={-1，0，1，2}， N={y|y=2x+1，x∈M}={-1，1，3，5}， 所以 M∩N={-1，1}. 答案：A 2.已知 x，y 满足约束条件 3 1 xy yx x      ， ， ， 那么 x+3y 的最大值是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 解析：作出 x，y 满足约束条件 3 1 xy yx x      ， ， ， 表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部，由 1 3 x xy     ， ， 可得 A(1，2)，z=x+3y，将直线进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=1+2×3=7. 答案：C 3.下列函数中，与函数 y=x3 的单调性和奇偶性相同的函数是( ) A.y= x B.y=lnx C.y=tanx D.y=ex-e-x 解析：根据题意，函数 y=x3 为奇函数，在 R 上增函数，据此分析选项： 对于 A，y= x ，其定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于 B，y=lnx，其定义域为(0，+∞)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于 C，y=tanx，为正切函数，是奇函数但在 R 上不是增函数，不符合题意； 对于 D，y=ex-e-x，f(-x)=ex-e-x=-(e-x-ex)=-f(x)，f(x)为奇函数，且 f′(x)=ex+e-x≥2，为 增函数，符合题意. 答案：D 4.阶乘(factorial)是基斯顿-卡曼于 1808 年发明的运算符号，n 的阶乘 n!=1×2×3×…× n.例如：2!=1×2，3!=1×2×3.执行如图所示的程序框图.则输出 n!的值是( ) A.2 B.6 C.24 D.120 解析：当 k=1 时，满足进行循环的条件，n=2，k=2； 当 k=2 时，满足进行循环的条件，n=3，k=3； 当 k=3 时，满足进行循环的条件，n=4，k=4； 当 k=4 时，满足进行循环的条件，n=5，k=5； 当 k=5 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 n!=5!=120. 答案：D 5.圆 x2+y2=4 被直线 y=- 3 x+b 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120°，则 b 的值( ) A.±2 B.±2 3 C.2 D. 解析：根据题意，圆 x2+y2=4 的圆心为(0，0)，半径 r=2， 若圆 x2+y2=4 被直线 y=- 3 x+b 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120°， 则圆心到直线的距离 d= 2 r =1，即 13 b  =1，解可得 b=±2. 答案：A 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为( ) A.8+4 2 B.2+2 2 4 3 C.2+6 3 D.2+4 2 2 3 解析：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为 2 的一部分，A-BCD， 三棱锥的表面积为：  21 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 4            . 答案：D 7.“a＞2”是“函数 f(x)=logax(a＞0，且 a≠1)的图象与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象的交点 个数为 2 个的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：根据题意，当 a＞2 时，函数 f(x)=logax(a＞0，且 a≠1)的图象与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象如图，有 2 个交点， 则“a＞2”是“函数 f(x)=logax(a＞0，且 a≠1)的图象与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象的交点 个数为 2 个”的充分条件， 反之：若“函数 f(x)=logax(a＞0，且 a≠1)的图象与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数 为 2 个”，则函数 f(x)=logax 为增函数，则 a＞1，则“a＞2”是“函数 f(x)=logax(a＞0， 且 a≠1)的图象与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为 2 个”的不必要条件， 则 a＞2”是“函数 f(x)=logax(a＞0，且 a≠1)的图象， 与函数 f(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为 2 个的充分而不必要条件. 答案：A 8.若五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 2.第二位同学 首次报出的数也为 2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出 的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 27 个数被报出时，五位同学拍手的总 次数为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和， 那么有 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987， 分别除以 3 得余数分别是 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0， 由此可见余数的变化规律是按 1、1、2、0、2、2、1、0， 循环周期是 8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数， 所以在三个周期内共有 6 个报出的数是三的倍数， 后面 3 个报出的数中余数是 1、1、2，没有 3 的倍数， 故第 27 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 6 次. 答案：B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.抛物线 x2=4y 的焦点到双曲线 2 2 1 3 yx 的渐近线的距离为 . 解析：抛物线的交点为 F(0，1)，双曲线 的一条渐近线方程为：y= 3 x，即 x-y=0，∴F 到渐近线的距离为 d= 11 231   . 答案： 1 2 10.如果复数(2+i)(1-mi)(其中 i 是虚数单位)是实数，则实数 m= . 解析：∵(2+i)(1-mi)=(2+m)+(1-2m)i 为实数，∴1-2m=0，即 m= . 答案： 11.已知命题 p： x∈(0，+∞)，2x＞1，则￢p 为 . 解析：命题 p“： x∈(0，+∞)，2x＞1”是全称命题， 否定时将量词对任意的 x 变为  x，再将不等号＞变为≤即可. 答案： x0∈(10，+∞)，2x≤1 12.已知 12ab， ，且 a 与b 的夹角为 3  ，则 2ab = . 解析：∵ 12ab， ，且 a 与b 的夹角为 3  ，∴ 1·cos 1 2 1 32 a b a b        ， ∴ 2 2 2 2 4 4 1 16 4 13a b a b a b         ，∴ 2 13ab . 答案： 13 13.已知函数 f(x)同时满足以下条件：①周期为π ；②值域为[0，1]；③f(x)-f(-x)=0.试 写出一个满足条件的函数解析式 f(x)= . 解析：f(x)=|sinx|满足：①周期为π ；②值域为[0，1]；③f(x)-f(-x)=0. 答案：|sinx| 14.设函数 f(x)= 20 1 0 1. 2 x x a x x          ， ＜ ， ， ＜ 则①f( 1 2 )= ； ②若 f(x)有最小值，且无最大值，则实数 a 的取值范围是 . 解析：设函数 f(x)= ① 1 21 1 2 2 2 2 f             ； ②当-2≤x＜0 时，f(x)=x+a∈[-2+a，a)， 当 0≤x＜1 时，f(x)= 1 2 ]1 1 2 ( x    ， ， 由 f(x)有最小值，且无最大值，可得 a＞1，且 a-2≤ 1 2 ，解得 1＜a≤ 5 2 . 答案： 2 2 ；(1， ]. 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.已知数列{an}是等差数列，a3+a8=37，a7=23. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设 bn=an+2n，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析：(Ⅰ)直接利用已知条件求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用等差和等比数列的通项公式求和. 答案：(Ⅰ)由等差数列{an}中设首项为 a1，公差为 d， 由于：a3+a8=37，a7=23.则： 38 7 37 23 aa a    ， ， 解得 a1=5， 所以 32 5 3 10 1 d   .所以 an=3n+2. (Ⅱ)bn=an+2n=3n+2+2n， 由(Ⅰ)知，       1 2 2 15 3 2 7 3 22 2 2 1 2 n n n n n n n S           . 16.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对分别为 a，b，c，且 cos2B+cosB=0. (1)求角 B 的值； (2)求 b= 7 ，a+c=5，求△ABC 的面积. 解析：(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换求出：(2cosB-1)(cosB+1)=0，进一步利用特 殊值求出 B 的度数. (2)直接利用(1)的结论和余弦定理求出 ac 的值，最后求出三角形的面积. 答案：(1)△ABC 中，内角 A，B，C 的对分别为 a，b，c，且 cos2B+cosB=0. 则：2cos2B+cosB+1=0，整理得：(2cosB-1)(cosB+1)=0， 解得：cosB= 1 2 (-1 舍去).则：B= 3  . (2)利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB， 由于：b= 7 ，a+c=5，解得：ac=6.所以：S△ABC= 1 3 3sin 22 ac B  . 17.2017 年冬，北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数 超过 70 天，重度污染的天数仅有 4 天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如①减 少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业 季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取 100 户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据(单位：千立方米)均在区间(0，5]内，将数据 按区间列表如下： (Ⅰ)求表中 x，m 的值； (Ⅱ)若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量； (Ⅲ)从用气量高于 3 千立方米的用户中任选 2 户，进行燃气使用的满意度调查，求这 2 户用 气量处于不同区间的概率. 解析：(Ⅰ)由频率分布表能求出表中 x，m 的值. (Ⅱ)由频率分布表能估计该乡镇每户月平均用气量. (Ⅲ)设(3，4]组内数据为 a，b，c，d(4，5]组内数据为：e，f，从月均用气量高于 3 千立 方米的中随机抽取 2 户，利用列举法能求出这 2 户用气量处于不同区间的概率. 答案：(Ⅰ)由频率分布表得：x=100-75=25，m= 25 100 =0.25. (Ⅱ)由频率分布表估计该乡镇每户月平均用气量为： 1 100 (0.5×14+1.5×25+2.5×55+3.5 ×4+4.5×2)=2.05. (Ⅲ)设(3，4]组内数据为 a，b，c，d(4，5]组内数据为：e，f， 从月均用气量高于 3 千立方米的中随机抽取 2 户的基本事件空间为Ω ={(a，b)，(a，c)，(a， d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d， e)，(d，f)，(e，f)}，共有 15 种情况，设随机抽取 2 户不在同一组为事件 A，则 A 中共有： (a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)共有 8 种情况，这 2 户用气量处于不同区间的概率 P(A)= 8 15 . 18.如图，四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，PD=CD= 2 ，PC=2， BC 平行且等于 1 2 AD，CD⊥AD. (Ⅰ)若 E 为 PD 中点，求证：CE∥平面 PAB； (Ⅱ)求证：CD⊥平面 PAD； (Ⅲ)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解析：(Ⅰ)取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，由三角形中位线定理可得 BCEF 为平行四边形，得 到 CE∥BF，再由线面平行的判定可得 CE∥平面 PAB； (Ⅱ)由已知结合勾股定理可得 CD⊥PD，又 CD⊥AD，利用线面垂直的判定可得 CD⊥平面 PAD； (Ⅲ)由(Ⅱ)知，平面 PAD⊥平面 ABCD，在等腰直角三角形 PAD 中，取 AD 的中点 O，可得 PO ⊥AD.进一步得到 PO⊥平面 ABCD，则 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高，再由棱锥体积公式求四棱锥 P-ABCD 的体积. 答案：(Ⅰ)取 PA 的中点 F，连接 EF，BF， 在△APD 中，E F 分别为 PA，PD 的中点， ∴EF∥ 1 2 AD 且 EF= AD，∵BC∥ AD 且 BC= AD，∴EF∥BC 且 EF=BC， ∴四边形 FECB 为平行四边形，∴FB∥CE. ∵CE 平面 PAB，BF  平面 PAB，∴CE∥平面 PAB； (Ⅱ)∵PD=CD= 2 ，PC=2，∴PD2+DC2=PC2，则 PD⊥DC， 又 CD⊥AD，而 PD∩AD=D，∴CD⊥平面 PAD； (Ⅲ)由(Ⅱ)知，CD⊥平面 PAD， 而 CD  平面 ABCD，则平面 PAD⊥平面 ABCD， 在等腰直角三角形 PAD 中，取 AD 的中点 O，∴PO⊥AD. ∵平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴PO⊥平面 ABCD， ∴PO 为四棱锥 P-ABCD 的高， 则 VP-ABCD=  1 1 1 2· 1 2 2 3 3 2 2ABCDS PO      . 19.已知椭圆 C： 22 22 xy ab  =1(a＞b＞0)过点(0，-1)，离心率 e= 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)过点 F(1，0)作斜率为 k(k≠0)的直线 l，l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的垂直 平分线交 x 轴于点 P，求证：|MN|=2 2 |PF|. 解析：(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和基本量 a，b，c 的关系，解方程可得 a，即可得到所求 椭圆方程； (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x-1)，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直 线垂直的条件：斜率之积为-1，以及垂直平分线的性质，化简即可得证. 答案：(Ⅰ)椭圆 C： =1(a＞b＞0)过点(0，-1)，离心率 e= 2 2 ， 可得 b=1，e= 2 2c a  ，a2-b2=c2，解得 a= 2 ，b=1，所以椭圆 C 的方程为 2 2 x +y2=1； (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x-1)，代入椭圆方程 +y2=1， 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，由△=16k4-4(1+2k2)(2k2-2)＞0， 可得 k≠0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 中点 Q(x0，y0)， 那么 x1+x2= 2 2 4 12 k k ，x1x2= 2 2 2 1 2 2 k k   ， 2 12 0 2 2 2 1 2 xx kx k   ，y0=k(x0-1)= 212 k k   ， 设 P(p，0)，根据题意 PQ⊥MN，所以 2 00 2 2 112 2 12 k ky x p k kp k        ，得 p= 2 212 k k ， 所以|PF|= 22 22 11 1 2 1 2 kk kk   ，    2 222 222 1 2 1 2 2 2 2 2 2 14 8 81 4 1 1 2 1 2 1 2 kkkM N k x x x x k k k k                  ， 可得|MN|=2 2 |PF|. 20.已知函数 f(x)=(2x+1)lnx- 1 2 x2-2x，l 为曲线 C：y=f(x)在点(1，f(1))处的切线. (Ⅰ)求 l 的方程； (Ⅱ)求 f(x)的单调区间； (Ⅲ)设 g(x)=f′(x)+x-a，若关于 x 的不等式 g(x)＜0 有解，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，计算 f(1)，f′(1)，求出切线方程即可； (Ⅱ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅲ)求出函数的导数，根据函数的单调性求出 g(x)的最小值，得到关于 a 的不等式，解出 即可. 答案：(Ⅰ)f′(x)=2lnx+ 1 x -x.所以 f(1)= 5 2  ，切点为(1，-52)，f′(1)=0，所以 l 的方 程为 y= ； (Ⅱ)定义域为{x|x＞0}，f′(x)=2lnx+ -x， 设 g(x)=2lnx+ -x，g′(x)=   2 2 1x x   ≤0 恒成立， 所以 g(x)在(0，+∞)上是减函数，且 g(1)=0， 则当 x∈(0，1)时，g(x)＞0，即 f′(x)＞0，则当 x∈(1，+∞)时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(0，1)，f(x)的单调递减区间(1，+∞). (Ⅲ)因为 g(x)=2lnx+ 1 x -a，g′(x)= 22 2 1 2 1x x x x  ， 当 x∈(0， 1 2 )时，g′(x)＜0，当 x∈( ，+∞)时，g′(x)＞0， 所以 g(x)在(0，+∞)上的最小值为 112 ln 22 g    +2-a=2-2ln2-a， 所以若关于 x 的不等式 g(x)＜0 有解，则 2-2ln2-a＜0，即 a＞2-2ln2.