2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学高二下学期期中数学试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学高二下学期期中数学试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据常见函数的导数公式和导数的运算法则进行求解，然后进行逐一判定即可.‎ ‎【详解】‎ A：,选项不正确，B： ，选项正确，‎ C：,选项不正确，D: ,选项错误.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求导的运算，需熟练掌握求导公式，求导法则，属于容易题.‎ ‎2．设函数，若，则的值为　　‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，利用列方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．‎ ‎3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，，则该次英语测试该班的平均成绩是（　　）‎ A．68 B．65 C．63 D．70‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用频率分布直方图计算平均数的方法是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和.‎ ‎【详解】‎ 平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和． ∴平均分为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68． 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图，重点是小矩形的高=频率/组距，属于中档题.‎ ‎4．空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：‎ ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～300‎ ‎300以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图．‎ 根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）‎ A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C．从数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；‎ 从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；‎ 从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.‎ ‎5．某医院治疗一种疾病的治愈率为，在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为　(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 医院治疗每个病人的治愈与否是相互独立的，所以每个病人的治愈率相同，都为.‎ ‎【详解】‎ 因为医院治疗每个病人的治愈与否是相互独立的，所以每个病人的治愈率相同，都为，‎ 所以在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了相互独立事件，属于容易题.‎ ‎6．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）‎ A．60 B．80‎ C．100 D．120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得,进而可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，‎ 又由，‎ 根据正态分布曲线的对称性，可得,‎ 所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为人，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．是离散型随机变量，，那么和分别是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由期望和方差的运算性质求解即可 ‎【详解】‎ 由期望和方差的运算性质知E(X1)= E(2X－5)=2 E(X)-5=7‎ D(X1)= D(2X－5)= D(X)＝2‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 ‎8．（2018年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由公式计算可得 详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，‎ 则 因为 所以 故选B.‎ 点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。‎ ‎9．‎ 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可.‎ ‎【详解】‎ 随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，‎ P（ξ=0）,, ,‎ 所有随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以ξ的期望 ,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．‎ ‎10．已知的值如下表所示：如果与呈线性相关且回归直线方程为，则（ ）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎5‎ ‎4‎ m ‎7‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由表格数据求出样本中心点，代入回归方程即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由表中数据可得，‎ 因为线性回归方程过样本中心点 所以，解得 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归直线方程的性质，属于基础题.‎ ‎11．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）‎ A． B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论 ‎【详解】‎ 设与平行的直线和相切，则斜率为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 令，可得切点，‎ 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离，‎ 由点到直线的距离公式知，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，利用平移切线法结合导数的几何意义是解决本题的关键,属于中档题.‎ ‎12．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A．19 B．7 C．26 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．‎ ‎【详解】‎ 顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以， ①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种， 当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有2+5=7种， ②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种， 当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有2+5=7种， ③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则,若没有人使用现金，则有种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种， 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．下列说法正确的个数有_________‎ ‎（1）已知变量和满足关系，则与正相关；（2）线性回归直线必过点 ；‎ ‎（3）对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大 ‎ ‎（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好.‎ ‎【答案】3个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3，则x与y正相关；应该是：x与y负相关．故错误. （2）线性回归直线必过点，线性回归直线必过中心点．故正确． （3）对于分类变量A与B的随机变量，越大说明“A与B有关系”的可信度越大． 根据课本上有原句，故正确． （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句． 故填3个．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.‎ ‎14．设曲线在点处的切线与直线平行，则_________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a值．‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 又曲线在点处的切线与直线平行 ‎，即.‎ 故填4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.‎ ‎15．的展开式中的系数是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的展开式中含 和的项，分别乘和,合并同类项，即可求出的系数.‎ ‎【详解】‎ 由组合知识知，的展开式中含的项为，无含的项，‎ 所以的展开式中的系数为，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式，组合的应用，属于中档题.‎ ‎16．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 五种抽出两种的抽法有种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是，故答案为.‎ ‎17．记，则_________‎ ‎【答案】365‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令，，代入计算，联立方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 令可得： ①‎ 令可得： ②‎ 两式相加可得：,故填365‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了赋值法求二项展开式的系数和，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．若函数,当时,函数有极值为,‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若有个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；‎ ‎（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 由时，函数有极值，‎ 得，即，解得 所以；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，有极大值；当时，有极小值，‎ 因为关于的方程有三个不等实根，‎ 所以函数的图象与直线有三个交点，‎ 则的取值范围是 ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.‎ ‎19．为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；‎ ‎（Ⅲ）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？‎ 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 参考公式及数据：，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用频率分布直方图小长方形的面积之和是1可得；‎ ‎（Ⅱ）由题意利用频率近似概率可得；‎ ‎（Ⅲ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题可得，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 则比赛成绩不低于分的频率为，‎ 故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分的概率约为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，‎ 由此可得完整的列联表：‎ 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 所以的观测值，‎ 所以没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，考查学生分析和解决问题的能力，是基础题。‎ ‎20．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：‎ 日需求量(个)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；‎ ‎(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润的分布列并求出期望，并以此判断此建议该不该被采纳．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）此建议不该被采纳．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)从这30天中任取2天，基本事件总数，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率．‎ ‎(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，分虽求出相应的概率，能求出的分布列和，由，得到此建议不该被采纳．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)从这30天中任取2天，‎ 基本事件总数，‎ ‎2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数，‎ ‎∴两天的日需求量均为40个的概率．‎ ‎(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎60‎ ‎140‎ ‎180‎ ‎，‎ ‎∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值，，‎ ‎∴此建议不该被采纳．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)当时，判断在定义域上的单调性；‎ ‎(2)若在上的最小值为，求的值．‎ ‎【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数 ‎（2）a＝－.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导，再对a分类讨论求出在定义域内的单调性.(2)对a分类讨论，求出函数的最小值，再令最小值为求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.‎ 当a0时，(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ 当a<0时，令(x)>0，得x>-a；令(x)<0，得x<-a,‎ 所以f（x）的单调增区间为,单调减区间为 ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝.‎ ‎①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－ (舍去)．‎ ‎②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，a＝－ (舍去)．‎ ‎③若－e0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，a＝－.‎ 综上所述，a＝－.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论分析推理的能力.(2)解答本题的关键是对a分类讨论.‎