2018-2019学年广西玉林市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年广西玉林市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西玉林市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“对任意的”，都有的否定为 A．对任意的，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由全称命题的否定为特称命题，‎ 所以命题“对任意的”，都有的否定为“存在，使得”.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的否定，特别注意，命题中有全称量词时要否定为特称量词，属于基础题.‎ ‎2．平面α的一个法向量是n=(,-1,),平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2),则平面α与平面β的关系是( )‎ A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 ‎【答案】C ‎【解析】根据．即可得出α∥β或重合．‎ ‎【详解】‎ 平面α的一个法向量是n=(,-1,),平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2)，可得，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面的法向量共线与两个平面的位置关系，属于基础题．‎ ‎3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是(　　)‎ A．真命题 B．假命题 C．不一定是真命题 D．不一定是假命题 ‎【答案】A ‎【解析】根据一个命题的逆命题与它的否命题是逆否命题，真假性相同，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 一个命题的逆命题与这个命题的否命题是逆否命题，‎ 它们的真假性相同，所以逆命题是真命题时，它们的否命题也是真命题．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一个命题的逆命题与它的否命题真假性相同的应用问题，是基础题．‎ ‎4．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：，，，，，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是( )‎ A．，即5个数据的方差为2 B．，即5个数据的标准差为2‎ C．，即5个数据的方差为10 D．，即5个数据的标准差为10‎ ‎【答案】A ‎【解析】算法的功能是求的值，根据条件确定跳出循环的值，计算输出的值．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知：算法的功能是求的值，‎ ‎∵跳出循环的值为5，‎ ‎∴输出 .故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．‎ ‎5．在区间中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设取出的两个数为、，分析可得“”表示的区域为纵横坐标都在之间的正方形区域，易得其面积为1，而表示的区域为直线下方，且在所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案 ‎【详解】‎ 设取出两个数为，；则，若这两数之和小于，则有，‎ 根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组；表示的区域与表示区域的面积之比问题，如图所示；易得其概率为，答案选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系，属于中档题.‎ ‎6．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得到4=（m2+n）+（3m2-n），解得m2=1，又因为方程表示双曲线得到（n+1）（3-n）＞0，解得-1＜n＜3.‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，可得4=（m2+n）+（3m2-n），解得m2=1，‎ ‎∵方程表示双曲线，∴（m2+n）（3m2-n）＞0，‎ 可得（n+1）（3-n）＞0，解得-1＜n＜3，即n的取值范围是（-1，3）.‎ ‎​故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．‎ ‎7．在正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，建立空间直角坐标系，求出向量坐标，平面的一个法向量，设与平面所成角为，利用向量的夹角公式求出即可．‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示空间直角坐标系，设，‎ 则，，，，‎ 故，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 令，则，，‎ 即平面的一个法向量为，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．‎ ‎8．如图，在三棱锥中， 平面， ，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知平面， ，可推得，从该三棱锥的6条棱中任选2条共有种不同的选法，而其中互相垂直的2条棱有，共5种情况，所以这2条棱互相垂直的概率为，故选A.‎ ‎9．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ）‎ A．为真命题 B．为真命题 C．为真命题 D．为真命题 ‎【答案】A ‎【解析】命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题是“第一次射击没击中目标”，命题是“第二次射击没击中目标”，命题 “两次射击至少有一次没有击中目标”是，故选A.‎ ‎10．用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为　　‎ A． B．220 C． D．34‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：原多项式变形为，即 ‎，‎ ‎【考点】秦九韶算法求多项式的值 点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为 ‎11．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为且交轴于，若，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，由可得，又 ，则，所以点，代入可得，即，应选答案D。‎ ‎12．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )‎ A．336 B．337 C．338 D．339‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的值．‎ ‎【详解】‎ 根据框图分析，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，…‎ 当时，继续进入循环，‎ 当时，，且，‎ 结束循环，输出，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据系统抽样的概念结合，可得最后结果为2.‎ ‎【详解】‎ 学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除.‎ ‎∵，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为的总体中抽取容量为的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的个个体进行编号；（2）当为整数时，抽样距即为；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数 能被整除．‎ ‎14．已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据线段中垂线的性质可得，，又，故有，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出、值，即得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点的坐标为，‎ ‎∵的垂直平分线交于点，‎ ‎∴.又，∴.依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，∴，‎ 故椭圆方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出是解题的关键和难点，属于中档题.‎ ‎15．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND（　），b=RAND（　）；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计落在阴影内的点（x，y）的个数，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，=332，则据此可估计S的值为____．‎ ‎【答案】1.328‎ ‎【解析】根据题意,满足条件y<的点(x,y)的概率是,矩形的面积为4,则有,所以S≈1.328.‎ 点睛: 随机模拟求近似值的方法,先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算概率,再根据两者相等求近似值 ‎16．如图，在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，由此求得，由 以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 ，由数量积的定义即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 ，‎ ‎∴.‎ 由，可得 ‎ ‎ ‎.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知；．‎ ‎（Ⅰ）若是的必要条件，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可；（2）利用是的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．‎ 试题解析：由得，即，‎ 又．‎ ‎（1）若p是q的必要条件，‎ 则，即，即，解得，‎ 即m的取值范围是．‎ ‎（2）∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即，即，解得或．‎ 即m的取值范围是．‎ 点睛：根据命题真假求参数的方法步骤 ‎（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；‎ ‎（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围 ‎18．某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为由如图的程序运行后，输出.据此解答如下问题：‎ ‎（Ⅰ）求茎叶图中破损处分数在，，各区间段的频数；‎ ‎（Ⅱ）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）2,10,4（Ⅱ）众数75.中位数73.5‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件可知[50,60）之间的频率和频数可求得样本容易，结合频率分布直方图可得到各组频数；（Ⅱ）众数为出现次数最多的数，中位数为频率分布直方图中频率为0.5位置的数 试题解析：（Ⅰ）由直方图知：在[50,60）之间的频率为0.008´10=0.08，‎ 在[50,60）之间的频数为2;‎ 由程序框图知：在[70,80）之间的频数为10‎ 所以分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4； ‎ ‎（Ⅱ）分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08；‎ 分数在[60，70）之间的频率为7/25=0.28；‎ 分数在[70，80）之间的频率为10/25=0.40；‎ 分数在[80，90）之间的频率为4/25=0.16；‎ 分数在[90，100]之间的频率为2/25=0.08；‎ 估计该班的测试成绩的众数75. .....10分 设中位数为，则得 ‎【考点】频率分布表与频率分布直方图 ‎19．2017年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:‎ 日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 昼夜温差x(°C)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y(个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。‎ ‎ (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；‎ ‎ (Ⅱ)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出关于的线性回归方程；‎ ‎ (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ ‎ (参考公式: )‎ 参考数据： 1092， 498‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)用列举法列出所有的基本事件，再找出相邻两个星期的数据的事件个数，利用古典概型的概率公式即可求得；(Ⅱ)根据所给数据分别算出， ，再根据求线性回归方程系数的方法求得，把， 和代入到求得公式，求出，即可求出线性回归方程；(Ⅲ)根据所求的线性回归方程，将和代入求得，再同原来表中所给的和对应的值做差，差的绝对值不超过，即可得到线性回归方程理想．‎ 试题解析：(Ⅰ)将连续六组数据分别记为 ‎，从六组中任意选取两组，其基本事件为： ，共15种情况.‎ 其中两组是相邻的为，共5种情况.‎ 设抽到相邻两个星期的数据为事件，则抽到相邻两个星期的数据的概率为. ‎ ‎(Ⅱ)由数据求得，由公式求得，再由. ‎ ‎∴关于的线性回归方程为 ‎ ‎(Ⅲ)当时, , ； ‎ 同样, 当时, , .‎ ‎∴该小组所得线性回归方程是理想的 ‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线、的斜率之积为，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】（I）利用抛物线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；（Ⅱ）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：①当直线的斜率不存在时，设，，‎ 因为直线，的斜率之积为，所以，化简得.‎ 所以，，此时直线的方程为.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为，，，‎ 联立得化简得.‎ 根据根与系数的关系得，‎ 因为直线，的斜率之积为，‎ 所以，‎ 即.即，‎ 解得（舍去）或.‎ 所以，即，所以，‎ 即.‎ 综上所述，直线过轴上一定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用直线过定点问题，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求整体代换方法的应用，分类讨论的思想，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理是常用手段，属于中档题.‎ ‎21．在平面四边形中（如图1），为的中点，，，且，，现将此平面四边形沿折起使二面角为直二面角，得到立体图形（如图2），又为平面内一点，并且为正方形，设，，分别为，，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：面面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得面与面所成二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）存在一点符合题意，线段 ‎【解析】（Ⅰ）由已知条件得、，从而，从而面，同理，面，由此能证明面面；（Ⅱ）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系，求出面的一个法向量，设，求出面的法向量为，根据法向量与二面角之间的关系即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵点、、分别为、、的中点，‎ ‎∴、分别为、的中位线，∴、，‎ 又正方形中，，∴，‎ 又面，面，‎ ‎∴面，‎ 同理，面，‎ 又，面，面，∴面面.‎ ‎（Ⅱ）∵二面角为直二面角，又，，∴，‎ 如图建系，则有，，，，，‎ 则，，‎ 设面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设，，则，，‎ 设面的法向量为，‎ 则，‎ 取，得，‎ 由面与面所成二面角的余弦值为，得，‎ 令，解得或，‎ 令，解得；令，解得（舍去）‎ ‎∴在线段上存在一点，此时，线段.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面与平面平行的证明，考查了空间向量在二面角中的应用，即两个面所成的二面角与法向量所成角之间相等或互补，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.‎ ‎（Ⅰ）若，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）3或1（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】（I）利用椭圆的焦距、离心率及即可得到椭圆的标准方程；设，利用向量的数量积及点满足椭圆的方程即可得出点的坐标有两种，分别利用三角形面积公式计算即可；（Ⅱ）设，，把直线的方程与椭圆方程联立得到判别式△满足的条件及其根与系数的关系，再利用向量的模的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知：，，又，‎ 解得：，∴椭圆的方程为：‎ 可得：，，设，则，，‎ ‎∵，∴，即 由，或即，或 ‎①当的坐标为时，，，且，‎ ‎∴；‎ ‎②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ 综上可知：或1.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，‎ 由得：‎ 由得： ，‎ ‎∵，∴即 ‎∴，结合得：∵，∴‎ 从而， ，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，整理得：‎ 即，∴，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆方程联立得到判别式满足的条件及其根与系数的关系、向量的数量积运算及其向量模的计算公式等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．‎