2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期末考试 数学（文） Word版
2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期末考试数学文科试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.下列命题是真命题的为（ ）。
A: 若 ，则 B: 若，则
C: 若，则 D: 若x
6.则下列说法正确的是( )
A．“p∧q”为真，“p∨q”为真，“¬p”为真
B．“p∧q”为假，“p∨q”为假，“¬p”为假
C．“p∧q”为假，“p∨q”为真，“¬p”为假
D．“p∧q”为真，“p∨q”为真，“¬p”为假
3.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为
A、 B、 C、 D、
4.已知二次函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状是（ ）。
A: B:
C: D:
5.过点 的直线与抛物线 公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
6.若直线y=mx+1和椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，那么m2的值为（）
A. B. C. D.
7.曲线在点处的切线方程为（ ）。
A: B: C: D:
8.过点 与抛物线 有且只有一个交点的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9.已知集合A={x| ＜2x＜8，x∈R}，B={x|-1＜x＜m+1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）
A.m≥2 B.m≤2 C.m＞2 D.m＜2
10.函数 ，若f（x）的导函数f′（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≤0 B.a≥0 C.a＜0 D.a＞0
11.双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于
A.B.C.D.
12.若椭圆 和圆 ,(c为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e的取值范围是( )
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是____．
14.函数在时取得极值，则实数_______.
15.已知一个动圆 与圆 相内切，且过点 ，则这个动圆圆心 的轨迹方程是 ．
16.对于函数 z, 有以下说法:
(1) 是 的极值点.
(2)当 时 , 在 上是减函数.
(3) 的图象与 处的切线必相交于另一点.
其中说法正确的序号是______
三、解答题（共70分）
17.（本小题满分10分）设命题：方程的曲线是双曲线；命题：，．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）已知椭圆 上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6,
(1)求a及椭圆离心率的值.
(2)若 轴 为右焦点),且P在y轴上的射影为点Q,求点Q的坐标.
19.（本小题满分12分）设定义在 上的函数 >0).（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为 ，求 的值。
20.（本小题满分12分）如图：是y=f（x）= x3-2x2+3a2x的导函数
y=f'(x)的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间
（2）求实数a的值．
21.（本小题满分12分）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆C交于A,B两点.若原点O在以线段
AB为直径的圆内,求实数t的取值范围.
22.(本小题满分12分）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设函数 ，求函数 的单调区间．
2017-2018学年上学期高二数学文科答案
1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C
7.A 8.B 9.C. 10.C 11.C 12.C
13.若a+b+c≠3，则a 2+b 2+c 2＜3
14.-2；
15.答案详解
16.②
解:因为函数,,则
(1)因为恒为正或恒为负,故不是的极值点,故(1)错误;
(2)因为时,在上恒成立,则在上是减函数,故(2)正确;
(3)因为,则
故在处的切线方程:,即:,
联立,得到,整理得
若,则与必有两个以上的交点;
若,则与只有一个交点.
故(3)错误.
因此，本题正确答案是 (2).
解析
(1)利用函数的极值点处左右两侧导数值异号,即可判断出不是的极值点;
(2)因为时,在上恒成立,故得在上的单调性;
(3)在处的切线:,联立,判断解的个数,即可判断(3)的正误.
17.答案详解
解：对于命题，因为方程的曲线是双曲线，
所以 ，解得或，
则命题：或．
对于命题，因为，，
即不等式在实数集上有解，
所以，解得或．
则命题：或．
因为命题为假命题，为真命题，所以命题与命题有且只有一个为真命题．
若命题为真命题且命题为假命题，即，得；
若命题为假命题且命题为真命题，即，得．
综上，实数的取值范围为．
18.解:(1)椭圆上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6
,
(2)轴为右焦点),
的横坐标为
在椭圆上
在y轴上的射影为点Q,
点Q的坐标为.
19.答案详解
（Ⅰ）
当且仅当时，的最小值为。
（Ⅱ）由题意得：
由得：。
解析:
本题主要考查均值不等式、导函数的几何意义。
（Ⅰ）利用均值不等式求出函数的最小值，或者由对勾函数性质可知当时，取最小值，直接求导判断单调性也可以求得；
本题易错点是在使用均值不等式时应注意其使用条件：一正二定三相等。
（Ⅱ）利用导函数几何意义，求出该点斜率。
本题易错点是利用导函数性质求解切线方程时应注意“在”和“过”某点的区别。
20.答案详解
（1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）
（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．
解析:
（1）由f（x）=x3-2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；
函数f（x）=x3-2x2+3a2
x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．
即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．
（2）由于f（x）=x3-2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2-4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0
则解得 a=1．
则实数a的值为1．
21.答案
解:(Ⅰ)根据题意,可以知道,且,所以,所以,即椭圆C的方程为
(Ⅱ)设,,则原点O在以线段AB为直径的圆内,等价于三点不共线),也就等价于,即
联立,得,所以,即
且
于是
代入(1)式得,,即适合(2)式
又,所以计算得出即求.
解析
(Ⅰ)根据题意,可以知道,且,由此可,从而可得椭圆C的方程;
(Ⅱ)设,,则原点O在以线段AB为直径的圆内,等价于,将直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,可建立不等式,从而可求实数t的取值范围.
22.答案详解
【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增．
【解析】
试题分析：（1）先求出切点，再利用导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决；（2）先求出导函数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数，要对分类讨论．
试题解析：（1）当时，，，切点，
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程为：，即．
（2），定义域为，
，
①当，即时，令，
∵，∴，
令，∵，∴．
②当，即时，恒成立，
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递增．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性．
【思路点睛】利用导数研究函数性质是导数的重要应用，一般是先求函数的定义域，利用不等式的解集与定义域的交集为函数的单调递增区间，的解集与定义域的交集为函数的单调递减区间；若已知函数在某区间上单调递增（减），则转化为不等式（）在区间上有解．