数学卷·2017届山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

数学卷·2017届山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

‎2017年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数=（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i ‎2．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}‎ ‎3．下列四个结论中正确的个数是（　　）‎ ‎①若am2＜bm2，则a＜b ‎②己知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，若变量y与z正相关，则x与z负相关 ‎③“己知直线m，n和平面α、β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题 ‎④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数f（x）=|x+2017|﹣|x﹣2016|的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．4033 D．﹣4033‎ ‎6．二项式展开式的常数项为（　　）‎ A．﹣80 B．﹣16 C．80 D．16‎ ‎7．若角θ终边上的点在抛物线的准线上，则cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数（e为自然对数的底数），当x∈时，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎9．已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）‎ ‎10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）‎ A． B．7 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为　　．‎ ‎12．过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，当|AB|=4时，直线l的方程为　　．‎ ‎13．若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是　　．‎ ‎14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是　　．‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过C，D向y轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．‎ ‎17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；‎ ‎（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．‎ ‎18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响．‎ ‎（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；‎ ‎（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标．达标或能断定不达标，则终止投篮．记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望EX．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=Sn﹣1+an﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{bn}满足：b1=﹣，且3bn﹣bn﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和的最小值．‎ ‎20．已知a∈R，函数f（x）=aex﹣x﹣1，g（x）=x﹣ln（x+1）（e=2.71828…是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，且命题“∀x∈时，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】3O：函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．‎ ‎【解答】解：函数=，‎ f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，‎ 当x=π时，f（π）=＞1，‎ 排除B，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知约束条件为，若目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，则k的取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣1，+∞）‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（8，10），‎ 化目标函数z=kx+y为y=﹣kx+z，‎ ‎∵目标函数z=kx+y仅在交点（8，10）处取得最小值，‎ ‎∴﹣k＞2，则k＜﹣2．‎ ‎∴k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）‎ A． B．7 C． D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．利用体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．‎ ‎∴该多面体的体积V=23﹣﹣‎ ‎=7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为　﹣8　．‎ ‎【考点】3T：函数的值．‎ ‎【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．‎ ‎【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，‎ 所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，‎ 设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），‎ 所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，‎ 所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．‎ 故答案为：﹣8．‎ ‎　‎ ‎12．过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，当|AB|=4时，直线l的方程为　x+2y﹣3=0　．‎ ‎【考点】J9：直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣，由此能求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：直线l：经过点（1，1）与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，|AB|=4，则圆心到直线的距离为，‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1）+1，即kx﹣y﹣k+1=0‎ 圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣，‎ ‎∴直线l的方程为x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎13．若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是　6　．‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】由图知每次进入循环体，S的值被施加的运算是乘以2加上1，‎ 由此运算规律进行计算，经过5次运算后输出的结果是63，故M=6．‎ ‎【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得 A=1，S=1‎ 满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，‎ 满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，‎ 满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，‎ 满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，‎ 满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，‎ 由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；‎ 所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是　1，2　．‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为8的倍数即可．‎ ‎【解答】解：∵至少拿1个，至多拿6个，‎ ‎∴两人每轮总和完全可控制的只有7个，‎ ‎∴把零头去掉后，剩下的就是7的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走7个，即先取2个，以后每次如果乙报a，甲报7﹣a即可，保证每一轮两人报的和为7即可，最终只能甲抢到100．‎ 故先开始甲应取2个．‎ 故答案为：1，2．‎ ‎　‎ ‎15．已知抛物线y2=8x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过C，D向y轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为　4　．‎ ‎【考点】K8：抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=8x，可得y2﹣8my﹣8=0，|EG|=y2﹣2y1=y2+，利用基本不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=8x，可得y2﹣8my﹣8=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣8，‎ ‎∴|EG|=y2﹣2y1=y2+≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．‎ ‎【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先确定函数的解析式，再讨论函数f（x）在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求出C，利用与向量共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①，由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②，即可求a，b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） ==‎ 由与f（x）图象的对称轴相邻的零点为，得，‎ 所以ω=1，即 令，函数y=sinz单调增区间是，k∈Z，‎ 由，‎ 得，k∈Z，‎ 设， ，‎ 易知，‎ 所以当时，f（x）在区间 上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（Ⅱ），则，‎ 因为0＜C＜π，所以，‎ 从而，‎ 解得．‎ 因为与向量共线，所以sinB=2sinA，‎ 由正弦定理得，b=2a①‎ 由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②‎ 由①②解得a=1，b=2‎ ‎　‎ ‎17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；‎ ‎（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BE，设BD交CE于O，只需证明CD⊥AE，BC⊥AE，BC∩CD=C，即可得所以AE⊥平面BCDE ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，‎ 则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）‎ 设（t＞0），G（x，y，z）‎ 由可得，则，‎ 易知平面CEG的一个法向量为，求出平面DEG的一个法向量为．‎ 利用向量的夹角公式求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，设BD交CE于O，‎ 因为△BCD是等腰直角三角形CO⊥BD，所以，又EC=BD，所以O是BD和CE的中点 已知EC⊥BD，所以四边形BCDE是正方形 则CD⊥ED，又CD⊥AD，AD∩CD=D 所以CD⊥平面ADE，CD⊥AE 同理BC⊥AE，BC∩CD=C 所以AE⊥平面BCDE；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，‎ 则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）‎ 设（t＞0），G（x，y，z）‎ 由可得 则，‎ 易知平面CEG的一个法向量为 设平面DEG的一个法向量为 则得 令x0=1得，‎ 所以，‎ 解得t=2，所以．‎ ‎　‎ ‎18．甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响．‎ ‎（Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；‎ ‎（Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标．达标或能断定不达标，则终止投篮．记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）记“甲达标”为事件A，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，能求出甲达标的概率．‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记“甲达标”为事件A，‎ 则×；‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4．‎ ‎，‎ ‎××，‎ ‎，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=Sn﹣1+an﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{bn}满足：b1=﹣，且3bn﹣bn﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和的最小值．‎ ‎【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（Ⅱ）求得bn，及bn﹣an，bn﹣1﹣an﹣1，再由等比数列的定义，即可得证；‎ ‎（Ⅲ）运用等比数列的通项公式，求得bn，判断bn﹣bn﹣1的符号，可得{bn}是递增数列，求出b1，b2，b3，即可得到所求和的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得 即（n≥2且n∈N*），‎ 则数列{an}为以为公差的等差数列，‎ 因此=；‎ ‎（Ⅱ）证明：因为3bn﹣bn﹣1=n+1（n≥2）‎ 所以（n≥2），‎ ‎（n≥2），‎ bn﹣1﹣an﹣1=bn﹣1﹣=（n≥2），‎ 所以（n≥2），‎ 因为b1﹣a1=﹣10≠0，‎ 所以数列{bn﹣an}是以﹣10为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得，‎ 所以=，‎ ‎=（n≥2）‎ 所以{bn}是递增数列．‎ 因为当n=1时，，当n=2时，，‎ 当n=3时，，‎ 所以数列{bn}从第3项起的各项均大于0，故数列{bn}的前2项之和最小．‎ 记数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则．‎ ‎　‎ ‎20．已知a∈R，函数f（x）=aex﹣x﹣1，g（x）=x﹣ln（x+1）（e=2.71828…是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，且命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对函数f（x）求导，再根据导数和函数极值的关系分类即可得到极值点的个数，‎ ‎（Ⅱ）命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，转化为不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解，再构造函数F（x）=f（x）﹣kg（x）ex+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，利用导数和函数的单调性关系以及函数零点存在定理判断即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=aex﹣x﹣1，所以f'（x）=aex﹣1，‎ 当a≤0时，对∀x∈R，f'（x）=aex﹣1＜0，‎ 所以f（x）在（﹣∞，+∞）是减函数，此时函数不存在极值，‎ 所以函数f（x）没有极值点；‎ 当a＞0时，f'（x）=aex﹣1，令f'（x）=0，解得x=﹣lna，‎ 若x∈（﹣∞，﹣lna），则f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是减函数，‎ 若x∈（﹣lna，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣lna，+∞）上是增函数，‎ 当x=﹣lna时，f（x）取得极小值为f（﹣lna）=lna，‎ 函数f（x）有且仅有一个极小值点x=﹣lna，‎ 所以当a≤0时，f（x）没有极值点，当a＞0时，f（x）有一个极小值点．‎ ‎（Ⅱ）命题“∀x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题，‎ 则“∃x∈[0，+∞），f（x）＜kg（x）”是真命题，‎ 即不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解．‎ 若a=1，则设F（x）=f（x）﹣kg（x）=ex+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，‎ 所以﹣（k+1），‎ 设﹣（k+1），‎ 则，且h'（x）是增函数，‎ 所以h'（x）≥h'（0）=1﹣k 当k≤1时，h'（x）≥0，‎ 所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，h（x）≥h（0）=0，即F'（x）≥0，‎ 所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，‎ 所以F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）在x∈[0，+∞）上恒成立．‎ 当k＞1时，因为在[0，+∞）是增函数，‎ 因为h'（0）=1﹣k＜0，h'（k﹣1）=，‎ 所以h'（x）在（0，k﹣1）上存在唯一零点x0，‎ 当x∈[0，x0）时，h'（x）＜h'（x0）=0，h（x）在[0，x0）上单调递减，‎ 从而h（x）≤h（0）=0，即F'（x）≤0，所以F（x）在[0，x0）上单调递减，‎ 所以当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜kg（x）．‎ 所以不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解 综上所述，实数k的取值范围为（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C：，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．‎ ‎（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线Cλ上点M做椭圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A，B．‎ ‎①若切点A的坐标为（x1，y1），求切线MA的方程；‎ ‎②当点M运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】K4：椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．‎ 由于点P在椭圆C上，得，即得曲线Cλ的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，‎ 设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），联立方程组，‎ 由△=0，得，得；得过点A的切线方程为 过点A切线的斜率不存在时，符合方程．‎ ‎②存在定圆恒与直线AB相切；‎ ‎ 可得A，B两点坐标都满足方程，且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：，‎ 即原定O到直线AB的距离为，即直线AB始终与圆相切．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．‎ 由于点P在椭圆C上，得，‎ 即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为 ‎（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，‎ 设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）‎ 联立方程组，‎ 即．‎ 由△=0，得，‎ 即，‎ ‎，，得；‎ 此时过点A的切线方程为 过点A切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2，‎ 符合方程形式．‎ ‎②存在定圆恒与直线AB相切；‎ 设切点B（x2，y2），与A，B两点对应的点M的坐标设为（m，n）；‎ 同理过点B的切线方程为 同时两条切线MA和MB都过点M（m，n），所以．‎ 即A，B两点坐标都满足方程，‎ 且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：，‎ 即原定O到直线AB的距离为，‎ 所以直线AB始终与圆相切．‎