2018-2019学年四川省遂宁市高二上学期期末考试数学理试题 解析版

2018-2019学年四川省遂宁市高二上学期期末考试数学理试题 解析版

绝密★启用前 四川省遂宁市2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．‎ ‎【详解】‎ 由直线x﹣y+3＝0，得其斜率为k＝1，‎ 设直线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），‎ 由tanθ＝1，得θ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎2．圆心在轴上，半径为1且过点的圆的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心为C（a，0），由题意可得1，求得a的值，可得要求的圆的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆心在x轴上，设圆心为C（a，0），再根据半径为1，且过点（2，1），‎ 可得1，求得a＝2，故要求的圆的方程为 （x﹣2）2+y2＝1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3．根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是（ ）‎ A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年 B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）‎ C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年 D．2014年以来的销售额与年份正相关 ‎【答案】D ‎【解析】逐年比较，2014年销售额为400，最大，所以是销售额最多的一年；这几年的利润不是逐年提高，如2015年利润为负；2011年至2012年销售额增长140，是增长最快的一年；‎ 从柱形图上看， 年以来销售额与年份负相关，D错误． 选D．‎ ‎4．直线和直线平行，则实数的值为 A．3 B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与直线平行的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 直线l1：ax+3y+3＝0和直线l2：x+（a﹣2）y+1＝0平行，‎ ‎（1）当a=2时，直线l1：2x+3y+3＝0，直线l2：x +1＝0，‎ 显然不适合题意；‎ ‎（2）当a≠2时，‎ 由，解得a＝﹣1．‎ ‎∴实数a的值为﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查分类讨论思想与运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．已知是的重心，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ P是△ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，‎ 则黄豆落在△PBC内的概率是：‎ P．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 几何概型概率公式的应用：‎ ‎（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.‎ ‎6．已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题 ‎①若，则∥‎ ‎②若∥∥，则∥‎ ‎③若∥、∥，则∥‎ ‎④若，则∥‎ ‎⑤若，则∥‎ 为假命题的是 A．①②③ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由平行平面的传递性可判断③；由线面垂直和面面垂直的性质可判断④；由垂直于同一平面的两直线平行可判断⑤．‎ ‎【详解】‎ m、n是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，‎ 对于①，若α⊥γ、β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故①错误；‎ 对于②，若m⊂α、n⊂α、m∥β、n∥β，且m，n相交，则α∥β，故②错误；‎ 对于③，若α∥β、γ∥β，则γ∥α，故③正确；‎ 对于④，若α⊥β、m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；‎ 对于⑤，若m⊥α、n⊥α，则m∥n，故⑤正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．‎ ‎7．若实数，满足则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，再由z＝（x﹣2）2+y2的几何意义，即可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方求解．‎ ‎【详解】‎ 由题实数x，y满足可行域如图所示，‎ z＝（x﹣2）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方，‎ 由图可得，DP，DP2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，侧面三角形PAB与PBC全等，侧面三角形PAC为等腰三角形，PA＝PC．然后由三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，‎ 侧面三角形PAB与PBC全等，侧面三角形PAC为等腰三角形，PA＝PC．‎ 则该三棱锥的表面积为S10+2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求表面积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．‎ ‎9．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可 详解：第一步：‎ 第二步：‎ 第三步：‎ 第四步：‎ 最后：输出。，故选B。‎ 点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。‎ ‎10．已知的外接圆经过点，且圆心在直线上.若的边长,则等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设M的坐标为（x，y），半径为R，结合题意求出圆心的坐标，即可得R的值，结合正弦定理可得2R＝2，变形可得R的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设M的坐标为（x，y），半径为R，‎ 若圆M经过点（0，1），（0，3），则圆心在直线y＝2上，‎ 又由圆心在直线y＝x上，则x＝2，则圆心的坐标为（2，2），‎ R，‎ 若△ABC的边长BC＝2，则有2R＝2，‎ 变形可得：sin∠BAC；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程以及正弦定理的应用，关键是求出圆的方程，属于基础题．‎ ‎11．已知三棱锥中，，，,，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.‎ ‎【详解】‎ 由PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.‎ ‎∵，，‎ ‎∴三棱锥外接球的直径为，‎ ‎∴三棱锥外接球的直径为 ‎∴外接球的内接正方体的体对角线长.‎ ‎∴正方体的棱长为4，即正方体的体积为64‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎12．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析函数y的解析式可得（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，由Q的坐标可得Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a的值，即可得圆C1的方程，结合两圆外切的性质可得3+2＝5，变形可得（m+n）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），‎ 对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，‎ 又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，‎ 当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，‎ 圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，‎ 则有3+2＝5，‎ 变形可得：（m+n）2＝25，‎ 则mn，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于面对称的点的坐标为__________‎ ‎【答案】(-1，2，3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面yoz对称的点坐标是（-x，y，z）．‎ ‎【详解】‎ 在空间直角坐标系中， 点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（-1，2，3）． 故答案为：（-1，2，3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．‎ ‎14．连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n＝6×6＝36，再用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．‎ ‎【详解】‎ 连续抛掷两枚骰子，‎ 基本事件总数n＝6×6＝36，‎ 向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，分别为：‎ ‎（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），‎ 向上的点数之和为6的概率为p．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角的大小为__________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BD中点为O，连接MN、NO、MO．根据题中条件可知：NO＝MO，由此能推导出AB和MN所成的角的大小．‎ ‎【详解】‎ 取BD中点为O，连接MN、NO、MO．‎ ‎∵AB＝CD，OMCD，ONAB，直线AB与CD成角，‎ ‎∴NO＝MO，‎ ‎∴∠MON＝或∠MON＝，‎ 当∠MON＝时，△MON是等边三角形，‎ ‎∴∠MNO＝；‎ 当∠MON＝时，‎ ‎△MON是等腰三角形，∠MNO＝．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得x2+y2＝4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣22+3，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设P（x，y），‎ 若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，‎ 变形可得：x2+y2＝4，‎ 即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，‎ 曲线Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；‎ 若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，‎ 则有3﹣22+3，即1|a|≤5，‎ 解可得：a或a，‎ 即a的取值范围为：[，]∪[，]；‎ 故答案为：[，]∪[，]．‎ ‎【点睛】‎ 判断圆与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．‎ ‎(2)切线法：根据公切线条数确定．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.已知，.‎ 求证：（1）直线PA平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知,只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知: DE∥PA ,从而问题得证；注意线PA在平面DEG外,而DE在平面DEF内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE垂直平面ABC较好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只须证DE⊥EF即可；这样就能得到DE⊥平面ABC，又DE平面BDE，从面而有平面BDE⊥平面ABC．‎ 试题解析：(1)因为D，E分别为PC,AC的中点，所以DE∥PA.‎ 又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎(2)因为D，E，F分别人棱PC,AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．‎ 又因为DF＝5，故DF2＝DE2+EF2，所以∠DEF=90。，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC．‎ 又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．‎ 考点：1.线面平行;2.面面垂直.‎ ‎18．某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：‎ 年份 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人口总数 ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；‎ ‎(2)据此估计2022年该城市人口总数.‎ 附： ， .‎ 参考数据： ， .‎ ‎【答案】(1) .(2)196.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先依据数表的数据求出， ，再算出， .进而求出回归方程为（2）将代入 (万)。‎ 解：(1)由题中数表，知，‎ ‎.‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以回归方程为.‎ ‎(2)当时， (十万) (万).‎ 答：估计2022年该城市人口总数约为196万.‎ ‎19．已知直线与直线交于点 ‎（1）求过点且平行于直线的直线的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若直线与圆交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设直线l1的方程为3x+4y+m＝0，联立两个直线的方程，解可得P的坐标，将P的坐标代入直线方程，解可得m的值，即可得直线l1的方程；‎ ‎（2）根据题意，分析圆心的坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由， ‎ 令， ‎ 将代入得： (直线表示方式不唯一)‎ ‎（2）圆心到直线的距离， ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系以及直线平行的判断，属于基础题．‎ ‎20．2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？‎ ‎（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；‎ ‎（3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．‎ ‎【答案】（1）系统抽样；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；‎ ‎（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数；‎ ‎（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）系统抽样． ‎ ‎（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：‎ ‎，‎ 解得 即中位数的估计值为． ‎ 平均数的估计值为：，‎ ‎（3）车速在的车辆数为：2 ‎ 车速在的车辆数为：4‎ 设车速在的车辆为，车速在的车辆为，‎ 则基本事件有：‎ ‎，‎ ‎，‎ 共15种，其中，车速在的车辆至少有一辆的事件有： ‎ ‎，‎ 共14种，‎ 所以车速在的车辆至少有一辆的概率为 ‎【点睛】‎ 解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．‎ ‎21．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ ‎(1)证明：AE⊥平面PCD；‎ ‎(2)求二面角A－PD－C的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.‎ 试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面， 平面，‎ 故.由条件， ，∴平面.‎ 又平面，∴.‎ 由， ，可得.‎ ‎∵是的中点，∴.‎ 又，综上得平面.‎ ‎（2）过点作，垂足为，连接，‎ 由（1）知， 平面， 在平面内的射影是，则．‎ 因此是二面角的平面角．‎ 由已知，可得．设，可得， ，‎ ‎， ．‎ 在中，∵，∴，则 ，‎ 在中， .‎ ‎22．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；‎ ‎（1）求线段AB中点M的轨迹方程；‎ ‎（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.‎ ‎（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；（2）令，则，即时面积最大为2，从而得到直线m的方程；（3）设点，则，令，由直线与圆的位置关系得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设点 由中点坐标公式有 ‎ 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：‎ 点的轨迹方程为： ‎ ‎（2）令，则 当，即时面积最大为2 ‎ 又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时 ‎，到的距离为1不满足，令 故直线的方程为： ‎ ‎（3）设点，由于点 则，令 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.‎ 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查最值与范围问题，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题．‎