四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟数学（理）试题

四川省绵阳南山中学2020届高三下学期第四次诊断模拟数学（理）试题

绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学试题（理科）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则集合=（ ）‎ A.{1，2} B.{1，2，3} C.{0，1，2} D.（0，1）‎ ‎2.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A.(-∞，3] B.[2，3] C.(2，3] D.（2，3）‎ ‎3.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.展开式的常数项为（ ）‎ A.120 B.160 C.200 D.240‎ ‎5.用电脑每次可以自动生成一个属于区间（0，1）内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.下列说法正确的是（ ）‎ A.命题“，”的否定是“，”‎ B.命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 C.“在上恒成立”⇔“在上恒成立”‎ D.命题“已知，，若，则或”的逆否命题是真命题 ‎7.如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是（ ）‎ A.[0，3] B.[1，4] C.[2，5] D.[1，7]‎ ‎8.已知，满足约束条件，若的最大值为4，则=（ ）‎ A.3 B.2 C.-2 D.-3‎ ‎9.若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知数列与的前项和分别为，，且，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C.49 D.‎ ‎11.四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，，分别是棱，的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若函数在区间（1，+∞）上存在零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C.（0，+∞） D.‎ 二.填空题 ‎13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则=______.‎ ‎14.设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.‎ ‎15.若函数对任意的，都有成立，则=______。‎ ‎16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是______。‎ 三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求 面积的最大值.‎ ‎18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分数分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”.‎ 文科生 理科生 总计 获奖 ‎5‎ 不获奖 总计 ‎200‎ 附表及公式：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎19.如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.‎ ‎20.设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若直线垂直于轴时，有 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（点异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎21.已知函数，，，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点（0，1）处的切线与曲线切于点，求，，的值；‎ ‎（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（选修4-4：参数方程与极坐标）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）写出曲线，的普通方程；‎ ‎（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.‎ ‎23.（选修4-5：不等式选将）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围.‎ 绵阳南山中学2020年绵阳高考适应性考试模拟数学答案（理科）‎ 一.选择题：ACBBC DCBBB AD 二.填空题：13.1 14.13 15.7 16.6‎ ‎12解析：因为函数，所以，令，因为.当时，，，所以，‎ 所以在（1，+∞）上为增函数，则，‎ 当时，，所以，所以在（1，+∞）上为增函数.‎ 则，所以在（1，+∞）上没有零点.当时，即时，‎ 因为在（1，+∞）上为增函数，则存在唯一的.使得，且当时，；当时，，‎ 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，‎ 当时，，因为，当趋于+∞时，趋于+∞，‎ 所以在内，一定存在一个零点，所以，故答案选D.‎ ‎16.【解析】设直线的方程为，点，，直线与轴交点为 ‎∴联立，可得，根据韦达定理得。∵∴，即，∵，位于轴的两侧∴∴设点在轴的上方，则∵∴‎ 当且仅当，即时取等号 ‎17.（Ⅰ）由题意知 由，可得，‎ 由，可得，‎ 所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是 ‎（Ⅱ）由，得.由题意知为锐角.所以 由余弦定理：可得：‎ 即：，当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为 ‎18.解：（1），‎ ‎.‎ ‎（2）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，2×2列联表如下：因为 ‎，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与学生的文、理科有关”.‎ 文科生 理科生 总计 获奖 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 不获奖 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 总计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎19.（1）证明：∵长方形中，，，为的中点，∴，则.‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴；‎ ‎（2）解：取中点，连接，则平面，‎ 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，‎ 设，，.‎ 设平面的一个法向量为，则，取，得.由，解得.∴为上靠近点的处.‎ ‎20.（1）设，因为所以有，又由得，且，得，，因此椭圆的方程为：‎ ‎（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.‎ 由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，‎ 解得，故.所以.‎ 又因为的面积为，故，整理得，解得.‎ 所以.所以，直线的方程为，或.‎ ‎21.解：（Ⅰ），则.令，得，所以在上单调递增.令，得，所以在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.‎ 依题意，，.于是与抛物线切于点（1，1），由得.所以，，（Ⅲ）设，则恒成立，易得.‎ ‎（1）当时，因为，所以此时在（∞，+∞）上单调递增，①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立，不满足条件；‎ ‎（2）当时，令，得.由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“，恒成立”，必须有：“当时，，”成立.‎ 所以，，则，.‎ 令，，则.令，得.由，得；‎ 由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，当时，.从而，当，时，的最大值为.综上，的最大值为.‎ ‎22.解：（1），即曲线的普通方程为.‎ ‎∵，，，曲线的方程可化为，即 ‎（2）曲线左焦点为（-4，0）直线的倾斜角为，，‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得，‎ ‎∴，设，对应的参数分别为，，则∴，，‎ ‎∴.‎ ‎23.解：（1）当时，，‎ ‎①当时，不等式等价于，解得，即；‎ ‎②当时，不等式等价于，解得，即；‎ ‎③当时，不等式等价于，解得，即，‎ 综上所述，原不等式的解集为 ‎（2）由，即，得，‎ 又，∴，即，解得